Cálculo II

Cálculo II

1. Integral definida

   • Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
   • La integral definida se representa por símbolo integral definida.
     • ∫ es el signo de integración.
     • a límite inferior de la integración.
     • b límite superior de la integración.
     • f(x) es el integrando o función a integrar.
     • dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
   • Propiedades de la integral definida
     • 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
     • 2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
     • 3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
     • 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
     • 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
   • Función integral
     • Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x. Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
       • A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

2. Integración

   • Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
   • Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x).
   • Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
   • Integral indefinida
     • Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
       • Se representa por ∫ f(x) dx.
     • Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee : integral de f de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
     • Propiedades de la integral indefinida
       • 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
       • 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

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