SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS

SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS

1. DEFINICION

   • Son aquellas ecuaciones lineales que tienen constantes iguales a cero
     • Que la solución general de estos sistemas se puede escribir como una combinación lineal de n − r vectores donde n es el número de las incógnitas, y r es el número de los renglones no nulos en la forma escalonada
       • El Sistema Lineales Homogéneos es un sistema de la forma Ax = 0, esto es, con columna de constantes nula
         • Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneas es compatible, porque el vector cero es una de sus soluciones, llamada solución trivial.

2. TIPOS DE SOLUCIONES

   • Para un sistema de ecuaciones lineales hay dos casos posibles
     • --- Puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solución (la trivial)
       • --- Puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una solución no trivial

3. EJEMPLOS

   • Hay que determinar cuál situación tiene caso y describir el conjunto de todas las soluciones
     • Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas:
       • • Solución: La columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar con la matriz de coeficientes
           • Por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el sistema es compatible. Como r = 2 y n = 4, es compatible indeterminado. Tenemos n − r = 2 variables libres. Los pivotes est´an en las columnas 1 y 2, por eso expresamos x1 y x2 a trav´es de las variables x3 y x4
             • • Notamos que la solución general se puede expandir en una combinación lineal de dos vectores constantes:
                 • • Son soluciones básicas de este sistema de ecuaciones. Hay que hacer la comprabación para los vectores u1 y u2. La hacemos en forma matricial

4. OTROS EJEMPLOS

   • • SOLUCION
       • • Ahora la matriz del sistema es escalonada, y el número de los renglones no nulos es r = 3 = n. Por eso el sistema es compatible determinado, esto es, la ´unica solución es la trivial: x = 0
           • En este ejemplo no hay sentido hacer la comprobación para x = 0. Sería más importante comprobar que la matriz del sistema en forma escalonada efectivamente tiene 3 renglones no nulos (en otras palabras, que el rango del sistema es igual a 3), pero en este momento del curso no tenemos métodos para comprobarlo
   • • SOLUCION
       • • AquÍ r = 2, n = 3, r < n, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado
           • • La solución general se puede escribir en forma:
               • :
                 • Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas, Cada solución es un múltiplo de la solución básica u = 34 −11 3> . Comprobación para la solución básica

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