Fundamentos de Análise Matemática

Fundamentos de Análise Matemática

1. Convergência absoluta

   • Se uma série an for convergente em absoluto, então ela é convergente. Por definição: a série an é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos | an | for convergente.

2. Teste da raiz

   • Teste de Cauchy
     • Uma série an suponha que n (|an|)½ = L, em que L é um número-negativo, ou infinito, nada podemos afirmar se L=1.
       • Se L< 1, então an é absolutamente convergente.
       • Se L > 1, então an é divergente.

3. Teste da razão

   • Teste de D'Lambert
     • Dada uma série an, suponha que n|an +1an| = L , em que L é um número não negativo ou infinito, nada podemos afirmar se L=1
       • Se L< 1, então an é absolutamente convergente.
       • Se L > 1, então an é divergente.

4. Sequência an é convergente se existir um número real L tal que, dado qualquer número positivo ℇ, existe um índice n0 = n0 (ℇ) ∈ N de modo que |an - L| < ℇ para todo n ≥ n0.

   • A condição de convergência de uma sequência pode ser ro qualquer ℇ>0, existe n0 ∈ N, tal que an ∈ (L-ℇ, L+ℇ) se n ≥ n0.
     • Para qualquer intervalo aberto centrado em torno do limite L, encontrar-se um índice n0 ∈ N a partir do qual todos os termos de an estarão dentro desse intervalo
       • A série an converge se a sequência das somas parciais for convergente
       • Quando a série não converge, dizemos que a série diverge.
   • A sequência é uma lista ordenada de números, e a série é uma soma infinita dos termos dessa sequência.
     • Uma série infinita é obtida pela soma de todos os termos da sequência

5. Teste de integral

   • Suponha que “f” seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, ∞), se a integral de f(x) for convergente, então a série também converge
   • Suponha que “f” seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, ∞, se a integral de f(x) f)or divergente, então a série também diverge