Números complexos

Números complexos

1. O que são?

   • São números que surgem a partir da necessidade de solução de uma equação onde se encontram raízes de números negativos.
     • Exemplo: X² = -25 X = +- √-25 X = +- √25 . (-1) X = +- (√25 . √-1 ) X = +-5i

2. Representações de números complexos

   • A forma algébrica (z = a + bi), composta por uma parte real "a" e uma parte imaginária "b".
     • Ao tentar-se resolver uma equação do segundo grau, como x² = –25, muitas vezes ela era dita como sem solução. Não obstante, na tentativa de algebrizar, surgiu então a representação algébrica, que possibilita a realização de operações com esses números, ainda que não se consiga calcular a raiz quadrada de um número negativo. Para facilitar a resolução das situações em que se trabalha com a raiz quadrada de um número negativo, foi definida a unidade imaginária.
       • Para definir-se a forma algébrica, foi utilizada a letra i, conhecida como unidade imaginária de um número complexo. Um número complexo é representado por: z = a + bi Em que a e b são números reais. a: parte real, indicada por a = Re(z); b: parte imaginária, indicada por Im(z); i: unidade imaginária.
   • A forma geométrica, representada no plano complexo conhecido como plano de Argand-Gauss.
     • Pela representação geométrica no plano complexo, definimos também o módulo (representado por |z|) de um número complexo — que é a distância do ponto que representa o número complexo até a origem —, e o que é o argumento de um número complexo — que é o ângulo formado entre o eixo horizontal e o seguimento que liga a origem ao ponto que representa o número complexo.
     • O módulo de um número complexo, geometricamente, é a distância do ponto (a,b) que representa esse número no plano complexo até a origem, ou seja, o ponto (0,0).
       • Como podemos perceber, |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo, logo, ela pode ser calculada aplicando-se o teorema de Pitágoras, por isso temos que:
         • • Exemplo: Cálculo do módulo de z = 1 + 3i
     • O argumento de um número complexo, geometricamente, é o ângulo formado pelo eixo horizontal e o seguimento |z|.
       • Para encontrar o valor do ângulo, temos que:
   • A sua forma trigonométrica, conhecida também como forma polar.
     • A representação do número complexo na forma trigonométrica só é possível depois que conseguimos entender o conceito de módulo e argumento. Com base nessa representação, são desenvolvidos conceitos importantes para o estudo dos números complexos a nível mais avançado. Para realizarmos a representação trigonométrica, lembraremo-nos de sua forma algébrica z = a + bi, porém, ao analisarmos o plano complexo, temos que:
       • Ao substituirmos, na forma algébrica, os valores de a = |z| cos θ e b = |z| sen θ, temos que: z = a + bi
         • Com z = |z| cos θ + |z| sen θ • i, colocando |z| em evidência, chegamos à fórmula da forma trigonométrica: z= |z|(cos θ + i • sen θ)

3. Baseado em suas representações os números complexos possuem operações bem definidas: adição, conjugado, subtração, potenciação, multiplicação, e divisão.

   • Adição de dois números complexos Para realizarmos a adição de dois números complexos z1 e z2, faremos a soma da parte real de z1 e z2 e a soma da parte imaginária, respectivamente. Seja: z1 = a + bi z2 = c + di z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
   • Subtração de dois números complexos Antes de falarmos sobre subtração, precisamos definir o que é o inverso de um número complexo, ou seja, z = a + bi. O inverso de z, representado por –z, é o número complexo –z = –a – bi. Para realizarmos a subtração entre z1 e –z2, assim como na adição, faremos a subtração entre as partes reais e entre as partes imaginárias separadamente, porém é necessário compreender-se que –z2 é o inverso de um número complexo, o que torna necessário a realização do jogo de sinal.
     • Exemplo 1 Realização da subtração de z1 e z2: z1 = 2 + 3i ------ z2 = 1 + 2i ------- z1 – z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i --------- z1 – z2 = 1 + 1i = 1+ i
   • Potenciação da unidade imaginária. Na busca por um método para calcular-se potências de in, é necessário perceber que essas potências comportam-se de forma cíclica. Para isso, vamos calcular algumas potências de i.
     • Acontece que as próximas potências nada mais são que a sua repetição, note que:
       • i4 = i2 • i2 = (–1) (–1) = 1
       • i5 = i2 • i3 = (–1) (–i) = i
     • Ao continuarmos a calcular as potências, as respostas sempre serão elementos do conjunto {1,i,–1,–i}, então, para encontrarmos uma potência da unidade i n, faremos a divisão de n (o expoente) por 4, e o resto dessa divisão (r = { 0, 1, 2, 3}) será o novo expoente de i.
       • Exemplo: Cálculo de i25; Ao fazermos a divisão de 25 por 4, o quociente será 6 e o resto será igual a 1. Então temos que: i25 = i1 = i
   • O conjugado de um número complexo. O conceito é simples, para encontrarmos o conjugado de um número complexo, basta trocarmos o sinal da parte imaginária.
   • Para realizarmos a multiplicação de dois números complexos, vamos aplicar a propriedade distributiva.
     • Seja: z1 = a + bi z2 = c +di, então o produto: z1 • z2 = (a + bi) (c + di), aplicando a propriedade distributiva, z1 • z2 = ac + adi + cbi + bdi 2, mas, como vimos, i ² = -1 z1 • z2 = ac + adi + cbi – bd z1 • z2 = (ac – bd) + (ad + cb)i
       • Utilizando-nos dessa fórmula, é possível encontrarmos o produto de quaisquer dois números complexos, mas, de modo geral, ela não precisa ser decorada, já que, para o cálculo em questão, basta aplicarmos a propriedade distributiva.
   • Para realizarmos a divisão de dois números complexos, precisamos multiplicar a fração pelo conjugado do denominador para que fique bem definido o que é a parte real e o que é a parte imaginária.
     • Exemplo Cálculo da divisão de (6 - 4i) : (4 + 2i)

4. Por que são necessários?

   • Ao tentar resolver equações do segundo grau, é bastante comum que encontre-se a raiz quadrada de um número negativo, o que é impossível de ser resolvido no conjunto dos números reais, por isso a necessidade dos números complexos. O início do estudo desses números recebeu contribuições de matemáticos importantes, como Giralmo Cardono, porém o conjunto deles foi formalizado por Gauss e Argand.

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