Polinômios resumo

Polinômios resumo

1. Definição:

   • Um polinômio é uma expressão algébrica formada por 1 ou mais termos. Ou seja, monômio, binômio e trinômio são tipos de polinômios. Em geral, estudamos polinômios com uma única variável, como por exemplo 4x³ + 2x² − 5x + 6 e a esse polinômio, associamos uma função que chamamos de função polinomial.

2. Grau de um polinômio

   • Chamamos de grau de um polinômio o maior número inteiro de um expoente cujo coeficiente é não-nulo, isto é, é diferente de zero. Tomando-se novamente o polinômio p(x) = 4x³ + 2x² − 5x + 6 temos que o seu grau vale 3, pois ele é o maior expoente cujo coeficiente (que é igual a 4) é diferente de zero. Já o polinômio p(x) = 2x + 1 tem grau 1, enquanto que o polinômio p ( x ) = 6 tem grau zero.
     • Para polinômios de mais de uma variável, a fim de determinarmos o seu grau devemos somar os expoentes das partes lineares e tomar o maior valor. Por exemplo, o polinômio x²y + 3x² y³ − 4xy tem grau 5, pois a soma dos expoentes do 1º, 2º e 3º termos são iguais a, respectivamente, 3, 5 e 2.

3. Valor numérico de um polinômio

   • O valor numérico de um polinômio é obtido a partir da substituição da variável por um número. Assim, tomando o polinômio p(x) = 4x³ − 2x² − x + 1 o seu valor numérico para x = 2 é dado por p(2) = 4 ⋅ (2)³ − 2 ⋅ (2)² − 2 + 1 então, p(2) = 23

4. Raiz de um polinômio

   • Definimos a raiz (ou zero) de um polinômio como sendo o número real x cujo valor numérico é igual a zero, isto é, x será raiz de p(x) se p(x) = 0 .

5. Operação entre polinômios

   • Soma e subtração
     • Para somarmos dois (ou mais) polinômios, basta somar os termos semelhantes, conforme ilustra o exemplo a seguir: se p1(x) = 3x² + 2 e p2(x) = 4x² − 5 x + 3 então p1(x) + p2(x) = 3x² + 2 + 4x² − 5x + 3 = 7x² − 5x + 5
     • Já para a subtração entre dois (ou mais) polinômios , deve-se diminuir os termos semelhantes.
   • Multiplicação
     • A multiplicação de polinômios consiste-se na aplicação da propriedade distributiva e, por fim, na redução de termos semelhantes. Por exemplo, temos 2x² + 4x³ – 2x multiplicando 3x^9 – 2x³ – 8, então aplicando a propriedade teremos 12x^12 + 6x^11 – 6x^10 – 8x^6 – 4x^5 – 28x^4 + 16x^2 + 16x

6. Teorema do resto

   • O teorema do resto nos diz que a divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio para x = -b/a ou seja, P(-b/a) = R