Função Modular

Função Modular

1. Definição: Dado um número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, e se indica com |x|, o número real não negativo tal que:​ ​ |x|= x, se x ≥ 0 ​ ou​ |x| = -x, se x < 0​

2. Propriedades

   • 1. |x| ≥ 0, ∀ x ∈ R​ Se x ≥ 0, então |x| = x ≥ 0.​ Se x < 0, então |x| = -x > 0.​
   • 2. |x| = 0 ⇔ x = 0​ Se x = 0, então |x| = x = 0.​ Se |x|= 0, então x = 0, pois, caso x ≠ 0, resultaria |x| > 0.​
   • ​ 3. |x| . |y| = |xy|, ∀ x, y ∈ R​​ ​Se x ≥ 0 e y ≥ 0, então |x| . |y| = x . Y = |x . y|, pois x . y ≥ 0.​ Se x < 0 e y < 0, então |x| . |y| = (-x) . (-y) = xy = |x . y|, pois x . y > 0.​ Se x ≥ 0 e y < 0, então |x| . |y| = x . (-y) = -x . y = |x . y|, pois x . y ≤ 0.​ Se x < 0 e y ≥ 0, análogo ao caso anterior.
   • 4. |x|² = x², ∀ x ∈ R​​ Se x ≥ 0, então x = |x| e daí x² = |x|².​​ Se x < 0, então -x = |x| e daí (-x)(-x) = |x| . |x|, isto é, x² = |x|².​​
   • 5. |x| ≤ a e a > 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a​ |x| ≤ a ⇔ x² ≤ a² ⇔ x² - a² ≤ 0 ⇔ (x + a)(x – a) ≤ 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a.​ ​
   • 6. |x| ≥ a e a > 0 ⇔ x ≤ -a ou x ≥ a​ |x| ≥ a ⇔ x² ≤ a² ⇔ x² - a² ≥ 0 ⇔ (x + a)(x - a) ≥ 0⇔ x ≤ - a ou x ≥ a​ ​

3. Uma aplicação de ℝ em ℝ recebe o nome de função módulo ou modular quando a cada x ϵ ℝ associa o elemento ǀxǀ ϵ ℝ ​ ​ ​ f(x) = ǀxǀ​ ​

   • O seu domínio é formado por elementos do conjunto dos reais​ ​ D(f) = {x ϵ ℝ}​
   • O seu contradomínio é formado por elementos do conjunto dos reais​ ​ Cd(f) = {x ϵ ℝ}​ ​
   • A sua Imagem é formada por elementos do conjunto dos reais positivos.​ ​ Im(f) ={x ϵ ℝ+}​

4. Inequação Modular​ é uma desigualdade em que​ a variável está dentro do módulo​ ​