Números Complexos

Números Complexos

1. Forma Algébrica

   • z = x + yi, sendo x e y números reais e i denota a unidade imaginária.

2. Oque é?

   • Número chamado de unidade imaginária, representa um conjunto a mais do que os Reais, usado para solucionar equações com raízes quadradas negativas

3. Operações

   • Subtração
     • Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos: z1 - z2 (a + bi) - (c + di) a + bi – c – di a – c + bi – di (a – c) + (b – d)i Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.
   • Adição
     • Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos: z1 + z2 (a + bi) + (c + di) a + bi + c + di a + c + bi + di a + c + (b + d)i (a + c) + (b + d)i Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.
   • Multiplicação
     • Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos: z1 . z2 (a + bi) . (c + di) ac + adi + bci + bdi2 ac + adi + bci + bd (-1) ac + adi + bci – bd ac - bd + adi + bci (ac - bd) + (ad + bc)i Portanto, z1 . z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.

4. Módulo

5. Formula Trigonométrica

   • Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que: cosӨ = a/p e senӨ = b/p.

6. Potencias de i

   • i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um. i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo. i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja: i 3 = i2 . i = -1 . i = - i i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1 i 5 = i4 . i = 1 . i = i i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1. i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i.
     • Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta observar o seguinte: nas potências, elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i.

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