Números Complexos

Números Complexos

1. Plano de Argand-Gauss

   • O plano de Argand-Gauss, que também recebe o nome de plano complexo, é uma adaptação do plano cartesiano, permitindo realizar-se a representação geométrica de um número complexo e, consequentemente, desenvolver-se os estudos na geometria analítica para melhor compreensão dos números complexos.
   • Os estudos sobre o plano complexo foram desenvolvidos pelos matemáticos Argand e Gauss, o que justifica seu nome. Os números complexos da forma z = a + bi são representados como coordenadas (a,b), em que a é a parte real e b é a parte imaginária. Essa representação recebe o nome de afixo ou imagem geométrica do número z.

2. Módulo

   • O módulo de um número complexo, geometricamente, é a distância do ponto (a,b) que representa esse número no plano complexo até a origem, ou seja, o ponto (0,0).
   • |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo, logo, ela pode ser calculada aplicando-se o teorema de Pitágoras, por isso temos que:

3. Potência de i

   • As potências de i variam (entre 1, i, - 1 e - i), de modo que o resultado se repete a cada quatro potências. Por isso, qualquer potência de i pode ser simplificada para i0, i1, i2 ou i3.
   • ara calcular as potências de i, é importante saber que o quadrado da raiz quadrada de n é o próprio n. Como i é uma raiz quadrada, às vezes será possível simplificar o resultado fazendo: ii = √(– 1)√(– 1) = √(– 1)2 = – 1 Além disso, também é necessário conhecer algumas propriedades de potência para encontrar as potências de i. Essas potências são:
     • A cada quatro potências, os valores de in variam entre 1, i, - 1 e - i, nessa ordem. Observe que i0 = i4 = i8 … O mesmo vale para as outras potências, que sempre serão iguais a alguma das potências de i a seguir: i0, i1, i2 ou i3 Assim, para encontrar o valor de alguma potência de i, basta dividir seu expoente por 4. Ela terá o mesmo resultado que i elevado ao resto da divisão. Por exemplo: i130. 130 | 4 – 12 32 10 – 8 2

4. Argumento

   • "Argumento de um número complexo é o ângulo θ formado com o eixo horizontal e o segmento de reta que liga a representação geométrica de um número complexo à origem do plano de Argand-Gauss. Dado um número complexo da forma x + yi, podemos representá-lo em sua forma geométrica como o ponto Z(x, y).
   • "Quando representamos esse ponto no plano cartesiano, é possível traçar o segmento que vai do ponto Z(x, y) até a origem do plano O(0, 0). Então, para encontrar o valor do ângulo formado pelo segmento de reta OZ e o eixo da parte real do plano no sentido anti-horário, utilizamos as razões trigonométricas seno e cosseno, pois sabendo o valor do seno ou do cosseno do ângulo θ é possível descobrir o valor de θ consultando uma tabela trigonométrica. Em alguns casos, é comum que se trate de um ângulo notável. Representamos o argumento de um número complexo z por arg(z), sendo que arg(z) = θ.

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