Trojuholník

Página 1

Trojuholník

vrcholy trojuholníka: A, B, C

strany trojuholníka: a, b, c

|AB| = c; |BC| = a; |AC| = b

uhly trojuholníka: a, b, g

|<ABC| = b ; |<ACB| = g; |<BAC| = a

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180° (α + β + γ = 180°)

Vonkajšie uhly trojuholníka sú susednými uhlami vnútorných uhlov. Každý trojuholník má 6 vonkajších uhlov. Vonkajší a vnútorný uhol pri tom istom vrchole vytvárajú spolu priamy uhol (ich súčet je 180°).

Trojuholníková nerovnosť: (umožňuje zistiť, či sa dá trojuholník zostrojiť)

a + b > c alebo: nech a > b > c

a + c > b potom stačí overiť:

b + c > a b – c < a < b + c

Delenie trojuholníkov:

podľa veľkosti strán

rovnostranný – má všetky tri strany rovnaké a = b = c

rovnostranný trojuholník používame pri konštrukcii šesťuholníka

rovnoramenný – dva strany rovnaké – ramená, tretia rôzna - základňa b = c

rovnoramenný trojuholník využívame pri konštrukcii osemuholníka

rôznostranný – všetky strany rôzne (musí platiť trojuholníková nerovnosť)

podľa veľkosti uhlov

ostrouhlý – má všetky tri uhly ostré (menšie ako 90°)

pravouhlý – jeden uhol pravý (90°, najčastejšie pri vrchole C) a dva uhly ostré

tupouhlý – má jeden uhol tupý (väčší ako 90° a menší ako 180°) a dva ostré

Zhodnosť trojuholníkov

Dva trojuholníky sa nazývajú zhodné trojuholníky, ak majú všetky tri strany aj uhly zhodné.

Dva trojuholníky ABC a A´B´C´ sú zhodné, ak platí:

AB = A´B´; BC = B´C´; CA = C´A´; γ = γ´; α = α´; β = β´

Dva trojuholníky sú zhodné, ak platí niektorá z nasledujúcich viet o zhodnosti trojuholníka:

veta SSS – ak sa trojuholníky zhodujú vo všetkých stranách,

veta SUS – ak sa trojuholníky zhodujú vo dvoch stranách a uhle nimi zovretom,

veta USU – ak sa trojuholníky zhodujú v jednej strane a v dvoch uhlov priľahlých tejto strane

Página 2

Kružnica a trojuholník

Kružnica opísaná trojuholníku

Kružnica opísaná trojuholníku je taká kružnica, ktorej stred S je priesečníkom osí jednotlivých strán trojuholníka. Polomer kružnice r je vzdialenosť stredu kružnice (priesečníka osí strán) od ľubovoľného vrcholu trojuholníka.

Poznámka:

Stred kružnice opísanej ostrouhlému trojuholníku sa nachádza vo vnútri trojuholníka.

Stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku sa nachádza v strede prepony trojuholníka.

Stred kružnice opísanej tupouhlému trojuholníku sa nachádza mimo trojuholníka.

Kružnica vpísaná do trojuholníku

Kružnica vpísaná do trojuholníka je taká kružnica, ktorej stred O je priesečníkov osí vnútorných uhlov trojuholníka. Polomer kružnice r je dĺžka kolmice zostrojenej zo stredu kružnice (priesečníka osí vnútorných uhlov) na ľubovoľnú stranu trojuholníka.

Página 3

Významné prvky trojuholníka

Výška trojuholníka

Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka. Výšky trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý nazývame priesečník výšok alebo ortocentrum (označujeme ho V).

va …………… výška na stranu a

vb …………… výška na stranu b

vc …………… výška na stranu c

V …………… ortocentrum

Poznámka:

V ostrouhlom trojuholníku leží ortocentrum leží vo vnútri trojuholníka.

V pravouhlom trojuholníku je ortocentrum v bode, pri ktorom leží pravý uhol.

V tupouhlom trojuholníku sa nachádza ortocentrum mimo trojuholníka.

Ťažnica trojuholníka

Úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany, sa nazýva ťažnica trojuholníka. Ťažnice trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý nazývame ťažisko trojuholníka (označujeme ho T). Vzdialenosť ťažiska od stredu strany, ku ktorej je ťažnica zostrojená, sa rovná jednej tretine dĺžky ťažnice.

ta …………… ťažnica na stranu a

tb …………… ťažnica na stranu b

tc …………… ťažnica na stranu c

T …………… ťažisko

Stredná priečka trojuholníka

Stredná priečka trojuholníka je úsečka, ktorá spája vždy 2 stredy strán. Je rovnobežná s treťou stranou trojuholníka. Dĺžka strednej priečky sa rovná jednej polovici strane, s ktorou je rovnobežná.

p1, p2, p3 …………… stredné priečky