Méhodes d'intégration

Comment intégrer toutes les fonctions?

• On intègre directement les (séries de) fonctions simples et par partie tous les produits de fonctions usuelles impliquant une exponentielle
• \[\int (ax^3+bx^2+cx+d) dx = a\frac{x^4}{4} + b \frac{x^3}{3} +c\frac{x^2}{2} + dx+ C \mid \color{purple}{\int x e^x dx }=\int x (e^x)' dx = x e^x - \int e^x dx= (x-1) e^x + C \]
• \[ \color{purple}{\color{darkred}{\overbrace{ \!\! \int \!\! e^x cosdx}^ {à regrouper} }=\overbrace{ e^x cos \!\!+\!\! \int \!\! e^x sindx}^{exige une seconde IPP}=\overbrace{ e^x cos+e^x sin}^{à \;factoriser}-\color{darkred}{\overbrace{\int \!\! e^x cosdx}^ {à isoler} } \!\!=\!\! 2\!\! \int \!\! e^x cosdx\!=e^x(cos+sin)\!\! \implies\!\! \int \!\! e^x cosdx= e^x \frac{cos+sin}{2}+\!C}\]
• IPP: en cas de produit dont l'un des facteurs est intégrable (∫f'g).Pour les fonctions impliquant ln, arcsin, arcos... toujours poser f'=1; f=x!
• \[ \color{darkblue}{\int x \cdot ln² \;dx= \frac{x²}{2} ln² - \int x \cdot ln \; dx = \frac{x²}{2} ln² - \frac{x²}{2} ln+ \int \frac{x \color{red}²}{2 \color{red}x} dx=\frac{x²}{2} ln² - \frac{x²}{2} ln+\frac{x²}{4}+C= \frac{x²}{2}\cdot \bigg(ln²-ln+\frac{1}{2}\bigg) +C }\]Si g est une puissance ou un multiple réel de f, pour éviter double IPP ou regroupement de termes , on utilisera une IPS ( t= f(x), dt=f'dx)! \[ \int\! \frac {ln²}{x} dx, f'= \frac {1}{x}, g=ln²; \color{purple}{f=ln } \color{red}{donc g=f²} \color{blue}{ \implies IPS: posons \; t=f}=ln(x), dt = \frac{dx}{x} \implies \int t²dt= \frac{t³}{3}=\frac{ln³}{3}+C \]

IPP pour certaines fonctions usuelles...

• \[\int arcsin(x) dx = x arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x²}} dx = x arcsin(x) +\sqrt{1-x²}+ C \color{purple}{ \mid f'=1 \implies f=x,\, g= arcsin(x)}\]1. forme canonique: f(x)=ax²+bx+c=a(x-α)+β, α= -b/2a & β=f(α)
• \[\int arcos(x) dx = x arcos(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x²}} dx = x arcos(x) -\sqrt{1-x²}+ C \color{purple}{ \mid f'=1 \implies f=x,\, g= arcos(x)}\]2. Cela pourrait s'avérer fort utile dans certain cas de fractions
• \[\int arctg(x) dx = x arctan(x) - \int \frac{x}{x²+1} dx = x arctg(x) - \frac{1}{2} ln(x²+1)+ C \color{purple}{ \mid f'=1 \implies f=x,\, g= arctg(x)}\]3. de polynômes apparemment insolubles sans autre méthode!
• \[\color{darkblue}{\int ln²(x) dx=x ln²(x)-\int \frac{2x}{x} ln(x) dx=x ln²(x)-2 \int ln(x)dx = x(ln²(x)-2ln(x)+2)}\]
• \[\int ln(x) dx = x ln(x) - \int x \frac{1}{x} dx = x [ln(x) - 1] + C\]
• \[\int arcotg(x) dx = x arcotg(x) + \frac{1}{2} ln(x²+1)+ C\]
• \[ \color{darkgreen}{ \overbrace{\int f' \cdot \frac{1}{g} = \frac{f}{g} + \int \frac{fg'}{g²}}^{variante \; de \; la \; formule \; clasique} \implies} \color{red}{ \underbrace{\int \frac{fg'}{g²} = \int \frac{f'}{g} - \frac{f}{g}}_{nouvelle \; formule \; magique}}\]

IFP:Intégrale de fraction de polynômes

• Toujours d'abord factoriser et simplifier tous les termes
• Attention: ne jamais oublier les conditions d'existence
• décomposer le tout en somme de fractions irréductibles
• dont les nouveaux dénominateurs sont tous des diviseurs distincts les uns des autres et du dénominateur initial
• On intègre toutes les fractions séparément et directement
• le cycle IFP doit parfois être exécuté plusieurs fois
• Si ou quand ce ne sera plus possible, on veillera à ce que le dernier nomninateur soit la dérivée d'au moins un des facteur de son dénominateur pour une intégration aisée
• recommençons au début pour les intégrales non résolues
• Les IFP repose sur le principe de division euclidienne
• \[\color{purple}{\int\!\! \underbrace{\frac{a_0x^n+a_2x^{n-1}+...+a_n)}{b_0x^m+b_2x^{n-1}+...+b_m)}}_{A(x)/B(x)}dx= \underbrace{\int\!\! Q(x)dx + \int \!\! \frac{R(x)}{Q(x)}dx}_{A=BQ+R}}\]
• \[\color{darkblue}{\int \frac{dx}{x²+4x+5}=\int \frac{dx}{(x+2)^2+1}=arctg(x+2) +C}\]
• \[\int \frac{x³+1}{x³+3x²+3x+1} dx = \int \frac {(x+1) ^\color{red} 1·(x²-x+1)}{(x+1)^\color{red}3} dx= \] CE: x different de -1! simplifions et décomposons la fraction ...
• \[\int \frac{(x+1)^\color{red}2dx}{(x+1)^\color{red}2}-\frac{3x}{(x+1)^2} dx = x - \int\color{purple}{ \frac{3x dx}{(x+1)^2}} =\]
• de sorte que chaque numérateur soit un multiple ou une dérivée d'au moins un facteur du dénominateur de la fraction d'origine...
• \[ x - \int \frac{3(x+1) -3 }{(x+1)^2} dx = x -3 \int \frac{dx}{(x+1)} -3\int \frac{dx}{(x+1)^2} \]
• \[\int \frac{x³+1}{x³+3x²+3x+1} dx = x - \frac{3}{x+1} - 3ln(x+1) + C \]

Intégrales & trigonométrie: les astuces!

• IPP: en cas de puissance avec un des facteurs intégrable, se souvenir que f³= f*f² et f²= f*f et ça se résoud souvent avec le duo IPP + IPS\[ \color{olive}{ \int cos^\color{green}3 dx = \int sin\color{green}' \cdot cos \color{green}² dx = sin \cdot cos² +2 \int \!\! sin²\cdot cos dx= sin \cdot cos² +2 \int \color{green}{(1-cos²)}\cdot cos\, dx=\frac{sin \cdot cos²+2sin}{3} + C}\]
• On pourrait le faire plus facilement en se souvenant que cos³(x)= ¼ (cos(3x)+3cos(x))! Toujours choisir la formule qui réduit la puissance!
• \[\color{purple}{\int \!\! tg²dx=\int \!\! (\frac{1}{cos²} -1 )dx = tg -x+C \implies } \color{olive} {\int \!\! tg³dx=\int tg \cdot tg²=\int \!\! (\frac{tg}{cos²} -tg)dx =\frac{1}{2} tg² -ln(cos)+C}\]
• Et pour ce faire, rien de tel que les formules fondamentales, de duplication (f(2x) et f(3x)) et de Carnot qui permettent les simplifications!
• \[\color{black}{\int \frac{\overbrace{sin(2x)}^{2sin \cdot cos}-1}{\underbrace{1-sin²}_{cos²}}=2\int tg(x)dx -\frac{dx}{cos²(x)}=2 ln(cos(x)-½x²+C}\bigg|\color{darkblue}{\int sin^4=\underbrace{\overbrace{\frac{12x+8sin(2x)+sin(4x)}{32}+C}^{¼(1-cos(2x))²=¼ (1-2cos(2x)+cos²(2x)}}_{∫cos²(2x) =∫ ½ + ½∫ cos(2x)= ½x+¼sin(2x)+C}} \]
• \[ \color{darkgreen}{ \underbrace{\overbrace{\int (tg^4+tg^2)dx}^{tg² (tg²+1)}}_{tg²+1=(1/cos²)} =\int \underbrace{\overbrace{tg² \cdot \frac{1}{cos²}}^{tg'= (1/cos²)}}_{f²*f'=⅓f³}dx = \int \frac{tg²}{cos²}dx=\frac{tg³}{3}+C\bigg|\color{purple}{\int\!\! \frac{dx}{cos^4}=\underbrace{ \overbrace{\int \! \! \frac{tg²}{cos²}+\frac{1}{cos²}}^{(1/cos²)=tg²+1}}_{(1/cos)^4=(1/cos²)\cdot (1/cos²)}= {\underbrace{⅓ tg³ }^{IPS}+tg+C}}}\]
• \[ \color{darkblue}{\int \! \!(cos^4-sin^4) dx=\!\! \int\!\! \underbrace{(cos²+sin²)}_{1} \cdot \underbrace{ (cos²-sin²)}_{cos(2x)} dx= \frac{sin2x}{2}+C} \color{purple}{\mid \int \!\!\frac{dx}{cos}=\overbrace{\int \!\! \frac{cos}{\underbrace{ 1-sin²}_{cos²}}dx }^{poser\, t=sin}=ln(tg+\frac{1}{cos})+C}\]

IPS pour certaines fonctions complexes!

• \[ \color{darkgreen}{f'} \color{darkblue}f \!\! \mid \color{darkgreen}{f'} \color{darkblue}{f^k} \!\! \mid \frac{\color{darkgreen}{f'}}{ \color{darkblue}f} \!\! \mid \frac{\color{darkgreen}{f'}}{ \color{darkblue} {f^k}} \!\! \!\! \mid \!\! \mid \frac{\color{red}{f'}}{ \color{darkgreen}f²} \!\! \mid \frac{\color{red}{f'}}{ \color{darkgreen} {\sqrt[2]{f}}} \!\! \!\! \mid \cdot \cdot \cdot \!\! \color{darkred}{ \implies t=f(x)} \!\! \color{darkblue} {\implies \frac{\mathrm \partial}{\mathrm dx}t =\frac{\mathrm \partial}{\mathrm dx} f(x)= f'(x)} \!\! \color{darkgreen} {\implies dt= f'(x) \cdot dx}\]
• IPS: ∫f'g dx, f et g liés par une relation: on pose t= f(x), dt= f'dx. Les intégrales de fractions composées sont souvent de forme ∫f'/f dx
• \[\color{darkblue} {\underbrace{\int \frac{x-2}{(x²-4x+3)²} dx =\frac{1}{2} \frac{f'}{f²}=-\frac{1}{2} \frac{1}{f}=-\frac{1}{2} \frac{1}{x²-4x+3}+C}_{on \ pose t=f(x) [donc t=x²-4x+3] et dt= f'(x) dx [donc dt=(2x-4)dx] et on remplace!}}\color{black} {, \underbrace{\int \frac{e^x + cos(x)}{e^x + sin(x)}dx \bigg | \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}dx \bigg |\int \frac{cos-sin}{sin+cos}dx}_{ln(e^x+sin(x))+C, ln(e^x+e^{-x})+C, ln(sin(x)+cos(x))+C} }\]
• On devra parfois opérer une double IPS. Eviter le cycle en posant t=f(x), u=h(v)...Ne jamais reprendre x comme variable à poser!!!
• \[\color{olive} {\int \frac{dx}{x² \cdot \sqrt[2]{1+ \frac{1}{x}}}} = \color{purple}{ -\int \frac {dt}{\sqrt[2]{t+1}}}= = \color{darkgreen}{ -\int \frac {du}{\sqrt[2]{u}}}== \color{red}{ -2\sqrt[2]{1+ \frac{1}{x}}+C} avec\, t=\frac{1}{x}, u= t+1\implies u= 1+ \frac{1}{x} \]
• \[\color{olive} {\overbrace{ \int \! \frac{dx}{\underbrace{x \cdot \sqrt[2]{1+ \frac{1}{x}}}_{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+1}}}}^{poser t= \sqrt{x+1}}} = \color{purple}{ \overbrace{\underbrace{ \int \frac {dt}{2\sqrt[2]{t²-1}}}_{\implies \sqrt{x} =\sqrt{t²-1}}}^{\implies dt = \frac{dx}{2 \sqrt{x+1}}}} = \color{darkgreen}{\overbrace{\underbrace{½ arcosh(t)=½ln(\sqrt{t²-1}+t)}_{ l'arcosinus hyperbolique}}^{forme logarithmique de}}= \color{red}{\overbrace{ \underbrace{ ln\bigg(x(2 \sqrt[2]{1+\frac{1}{x}}+2 \bigg)}_{ça semble compliqué comme ca?}}^{hors concours pour rhétho}+C } \]
• \[\color{black}{On peut aussi se souvenir de la forme canonique en faisant \color{red}{\sqrt{x} \sqrt{x+1} = \sqrt{x²+x}=\sqrt{(x+1)^2-1} } et passer}\] \[\color{black}{à la fonction arcosinus hyperbolique \color{red}{arcosh(x)=ln(x+\sqrt{x²-1})} ... qui ne fait pas partie de la matière de rhéto!}\]