Sin título

Arranjos

• No estudo das Permutações trabalhamos os casos em que trocamos de posição todos os elementos de uma sequência de objetos qualquer. Um Arranjo será, em geral, uma permutação de apenas uma parte dos objetos dados, onde a ordem dos mesmos também influencia na disposição dos elementos. Note que, quando temos um arranjo em que estamos interessados na troca de posição de todos os elementos, esse arranjo pode ser encarado como uma permutação. O que faremos a seguir, é analisar os diferentes tipos de arranjos.
• Análise Combinatória 03: Arranjo Simples - Parte 1 (Enclavar)

ARRANJOS SIMPLES

• No estudo das Permutações trabalhamos os casos em que trocamos de posição todos os elementos de uma sequência de objetos qualquer. Um Arranjo será, em geral, uma permutação de apenas uma parte dos objetos dados, onde a ordem dos mesmos também influencia na disposição dos elementos. Note que, quando temos um arranjo em que estamos interessados na troca de posição de todos os elementos, esse arranjo pode ser encarado como uma permutação. O que faremos a seguir, é analisar os diferentes tipos de arranjos.
• Considere um conjunto com n elementos distintos. Qualquer sequência de p desses elementos (todos distintos) é chamada de Arranjo Simples (0 ≤ p ≤ n, com n e p naturais). Dizemos arranjo simples de n elementos tomados p a p, e simbolizamos por An ,p
• Esse arranjo simples pode ser calculado da seguinte forma:
• De fato, suponha que dispomos de n objetos distintos, e escolheremos p desses objetos para serem colocados em uma fila, com p posições. Dessa forma a fila terá p objetos. Pelo Princípio Multiplicativo, temos n objetos para ocupar a 1ª posição. Ocupada a 1ª posição com um objeto, a 2ª posição pode ser ocupada por qualquer um dos n-1 objetos restantes. Daí, ocupada a 2ª posição, a terceira posição pode ser ocupada por qualquer um dos n-2 objetos restantes. Repetindo esse raciocínio até a posição de número p, teremos para ela n – p + 1objetos disponíveis para ocupá-la.
• Pelo Princípio Multiplicativo teremos
• Multiplicando e, ao mesmo tempo, dividindo o segundo membro dessa igualdade por (n – p)!, temos.
• É importante enfatizar que nos problemas que envolvem a ferramenta do arranjo, a ordem dos termos agrupados importa, uma vez que uma sequência será diferente de uma outra se seus respectivos termos estiverem ordenados de forma distinta.
• Exemplo:
• Considere os algarismos 1,2,3,4 e 5. Quantos números com algarismos distintos, superiores a 100 e inferiores a 1.000, podemos formar?
• Resolução:
• O problema solicita que encontremos todos os números com três algarismos distintos uma vez que, todos os números maiores que 100 e menores que 1.000 têm três dígitos. Dessa forma, temos cinco algarismos disponíveis e usar três deles para formar números de três algarismos distintos. A solução do problema será o arranjo simples de 5 elementos tomados 3 a 3. Ou seja,
• É muito importante notar que, todos os problemas de arranjo simples poderão ser resolvidos usando o Princípio Multiplicativo, e é o que sempre faremos aqui.
• ARRANJOS COM REPETIÇÃO
• Considere um conjunto com n elementos distintos. Qualquer sequência de p desses elementos é chamada de Arranjo com repetição (0 ≤ p ≤ n, com n e p naturais). Note que os p elementos podem ser distintos ou não, isto é, pode haver elementos repetidos. Daí o nome, arranjo com repetição.
• Dizemos arranjo com repetição de n elementos tomados p a p, e simbolizamos por ARn, p.
• Esse arranjo com repetição pode ser calculado da seguinte forma:
• De fato, suponha que dispomos de n objetos distintos, e escolheremos p desses objetos para serem colocados em uma fila, com p posições. Dessa forma a fila terá p objetos. Pelo Princípio Multiplicativo, temos n objetos para ocupar a 1a posição. Ocupada a 1a posição com um objeto, como os objetos na fila podem ser repetidos, para 2a posição ainda temos n objetos disponíveis. Ocupada a 1a posição com um objeto, como os objetos na fila podem ser repetidos, para 2a posição ainda temos n objetos disponíveis. Repetindo esse raciocínio até a última posição, que é a posição de número p, como os objetos podem ser repetidos, ainda teremos n objetos disponíveis para essa posição. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, teremos.
• Exemplo:
• Considere os algarismos 1,2,3,4 e 5. Quantos números, superiores a 100 e inferiores a 1.000, podemos formar?
• Resolução:
• O problema solicita que encontremos todos os números com três algarismos (distintos ou não) uma vez que, todos os números maiores que 100 e menores que 1.000 têm três dígitos. Assim, temos 5 elementos e precisamos escolher 3 para formar números, onde os algarismos podem ser repetidos ou não. Dessa forma, a solução do problema será o arranjo com repetição de 5 elementos tomados 3 a 3. Ou seja,
• Note que, assim como foi feito no arranjo simples, podemos também no arranjo com repetição resolver qualquer problema usando o Princípio Multiplicativo, da seguinte forma:
• Como foi dito no arranjo simples, é muito importante notar que, todos os problemas de arranjo com repetição também poderão ser resolvidos usando o Princípio Multiplicativo. Dessa forma, vale ressaltar que qualquer problema de arranjo, não importa se for simples ou com repetição, sempre é possível se resolver usando o Princípio Multiplicativo. E é o que sempre faremos aqui.
• EXERCÍCIOS
• Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita.
• Trata-se de um agrupamento de 15 pessoas tomadas 2 a 2.
• Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.
• O número 2 deve ser fixado na 1ª posição e o 8 na última. Restaram, por tanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6.
• Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.
• Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família.
• Um campeonato de futebol é disputado por 5 equipes e serão premiados os dois primeiros colocados(campeão e vice, cada um com valores diferentes). De quantas maneiras distintas a premiação poderá ser distribuída?
• 8) Quantos números de 3 e 4 algarismos maiores do que 300 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 5 e 7?
• 9) Com as 5 letras a,b,c,d,e, quantos anagramas de 3 letras podem ser formados se:
• (a) as 3 letras são distintas?
• (b) pelo menos duas letras são idênticas?
• 10) Quantos números ímpares existem entre 100 e 999? (Observação: Lembre que estão excluídos os números 100 e 999)