Límite de una función

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Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.1 Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

lim

x

→

c

f

(

x

)

=

L

{\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L}

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

lim

x

→

c

f

(

x

)

=

L

⟺

∀

ε

>

0

∃

δ

>

0

/

0

<

|

x

−

c

|

<

δ

⟶

|

f

(

x

)

−

L

|

<

ε

{\displaystyle

{\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall

\varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0/0<|x-c|<\delta

\longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}}

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

lim

n

→

∞

x

n

=

c

⇒

lim

n

→

∞

f

(

x

n

)

=

f

(

c

)

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)}