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Description
Flashcards by LEONEL MEJIA, updated more than 1 year ago
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Created by LEONEL MEJIA
over 3 years ago
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| Question | Answer |
| KURT GODEL, fue un lógico, matemático y filosofo austriaco, considerado como uno de los lógicos más importantes de todos los tiempos, ya que su trabajo ha tenido gran impacto en el pensamiento matemático del siglo XX. | Su interés por relacionar la lógica y la teoría de conjuntos lo llevó a la comprensión de los fundamentos de las matemáticas, ya que con solo 25 años publicó 2 teoremas que denominó "Teoremas de incompletitud". |
| Mostró que las matemáticas no son un objeto terminado como se creía, sino que van más allá de lo que pensamos. | Además, de que las computadoras nunca podrán ser programadas para contestar toda pregunta matemática. |
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Menciona que un sistema matemático emplea axiomas (son proposiciones aceptadas como verdaderas sin la necesidad de ser demostradas)
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Esto quiere decir que van a definir y le van a dar base al sistema. Por ejemplo: 2 + 2 son los axiomas para obtener 4 |
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Gracias a los axiomas desarrollamos Teoremas (son proposiciones matemáticas demostrables a partir de los axiomas)
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Esto quiere decir, que se pueden comprobar gracias a los axiomas que empleamos. Por ejemplo: 4 es el resultado de 2+2 ó 1 + 1 + 1+ 1 |
| KURT GODEL, afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, puede ser consistente y a la vez completa. | Afirmaciones que demostró en su obra "Teoremas de la incompletitud" y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación y viceversa. |
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En el primer teorema, nos dice que la aritmética no puede ser un sistema COMPLETO y CONSISTENTE a la vez.
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Porque si se toma un sistema de axiomas que contenga como mínimo los de aritmética, siempre existirán proposiciones cuya certeza o falsedad será imposible demostrar, es decir, serán proposiciones indecidibles. |
| Cuando una proposición sea indecidible, podríamos incorporar la proposición o su negación como un nuevo axioma y asunto resuelto, sin embargo, habrá otra proposición indecidible en el nuevo sistema axiomático. |
Eso de incorporar proposiciones indecidibles como nuevos axiomas ya se ha hecho en dos notables casos:
1) El famoso postulado de Euclides.
2) La Hipótesis del Continuo.
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| El segundo teorema de Godel es básicamente una fórmula al primer teorema que ninguna teoría aritmética puede demostrar. | Esto quiere decir que tenemos un sistema incompleto, inconsistente e indecidible solo en la aritmética, que es la parte la parte básica de las matemáticas. |
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Gödel demostró que siempre que los axiomas puedan ser caracterizados por un sistema de reglas mecánicas, resulta indiferente para los enunciados tomados como axiomas.
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Si son verdaderos para los números naturales, algunos otros enunciados verdaderos acerca de los números naturales seguirán siendo indemostrables. |
| Con sus aportes, logró modificar algunos aspectos axiomáticos de Hilbert. | Incluso, hizo que Albert Einstein en algún momento dudara sobre su teoría de la relatividad. |
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