Ley de composición externa

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Ley de composición externa
  1. En símbolos
    1. es ley externa en A con operadores en B ⇔ Bx A → A es decir, si b B ∈ y a A ∈ la imagen del par (b ; a) = b ∗ a ∈ A
      1. Según las propiedades que deban satisfacer estas leyes de composición, se tienen los distintos tipos de estructuras ó sistemas axiomáticos.
        1. Monoide
          1. El par (A , ∗ ) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición interna ∗ se denomina monoide.
            1. Ejemplos de monoides
              1. ( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoides. ( N , - ) no es un monoide porque la sustracción no es ley de composición interna en N. ( N , ∗ ) donde ∗ está definido como a ∗ b = máx.{a , b} es un monoide.
          2. Semigrupo
            1. Un monoide asociativo se denomina semigrupo.
              1. Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo. Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad. El elemento neutro de llama identidad.
                1. Ejemplos de semigrupos ( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro. ( N 0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0. ( N , • ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad igual a 1.
            2. Grupo
              1. Sea el par (A , ∗ ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria
                1. (A , ∗ ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí: a) ∗ es asociativa. Es decir a ∀ , b ∀ , c ∀ : a, b, c ∈ A ⇒ ( ) ( ) a b c a b c ∗ ∗ = ∗ ∗ b) ∗ posee elemento neutro en A. Es decir e A ∃ ∈ / a ∀ , si a A ∈ ⇒ a e e a a ∗ = ∗ = c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de ∗ . Es decir a A ∀ ∈ , a ´ A ∃ ∈ / a a ´ a ´ a e
              2. Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo
                1. es cuando además de ser un grupo, d) ∗ es conmutativa. Es decir a ∀ , b ∀ : a, b ∈ A a b b a ⇒ ∗ = ∗ Si G = (A , ∗ ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo.
                  1. Ejemplos 1) El par ( Z , ∗ ) donde Z es el conjunto de los números enteros y ∗ es una operación definida como a ∗ b = a + b + 3 forma un grupo abeliano. Comprobación: ∗ es una ley de composición interna en Z pues si a y b ∈ Z , a + b + 3 ∈ Z ∗ es asociativa pues ( ) a b c ∗ ∗ = (a + b +3) ∗ c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6 y ( ) a b c ∗ ∗ = a ∗ (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6 ∗ tiene elemento neutro e = –3 , pues a A ∀ ∈ , a ∗ e = a entonces a + e +3 = a ⇒ e = –3 y e ∗ a = a entonces e + a + 3 = a ⇒ e = –3 tiene inverso a , a / a a e ′ ′ ∀ ∃ ∗ = , en nuestro caso a a′ ∗ = –3 ⇒ a a 3 ′ + + = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha a a 3 ′ ∗ = − ⇒ a a 3 ′ + + = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a izquierda ∗ es conmutativa pues a b ∗ = a + b + 3 = b + a + 3 = b a
                    1. Otros ejemplos: 1 ) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + ) Son grupos abelianos . También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva. 2 ) ( N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento. 3 ) ( N 0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso aditivo. 4 ) ( Q , • ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. 5 ) ( R , • ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. 6 ) ( Q – { 0 } , • ) y ( R – { 0 } , • ) Son grupos.
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