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Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector.

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Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector.
Juan Jose Rojas Echeverri
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Juan Jose Rojas Echeverri
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Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector.
  1. Definición geométrica de un vector: El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento de reta dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se llama una representación del vector. Segmento dirigido PQ: Es el segmento de recta con origen en P y extremo en Q. Notar que PQ≠QP.
      1. Dos segmentos dirigidos son equivalentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido. → → PQ ≡ P’Q’
        1. Definición Algebraica de un vector: Es un conjunto de elementos ordenados en renglón o columna.
            1. Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Los números a y b se conocen como las componentes del vector v. El vector cero es (0,0).
              1. Observación 1: Con esta definición, un punto en el plano xy puede considerarse como un vector que se inicia en el origen y termina en ese punto. Observación 2: El vector cero tiene magnitud cero. Por tanto, como el punto inicial y el terminal coinciden decimos que el vector cero no tiene dirección. Observación 3: Enfatizamos que las definiciones 1 y 2 describen exactamente los mismos objetos, Cada punto de vista (geométrico y algebraico) tiene sus ventajas. La definición 2 es la definición de un vector con dos componentes que hemos venido usando hasta ahora.
              1. Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Los números a y b se conocen como las componentes del vector v. El vector cero es (0,0).
      2. Vectores en R2 y R3
        1. Vectores en R2
          1. Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q, denotado por , es el segmento de recta que va de P a Q .
              1. Los segmentos de rectas dirigidos son distintos, puesto que tienen direcciones opuestas. Observación El punto P en el segmento dirigido es el punto inicial y Q es el final.
                1. son tres segmentos dirigidos con igual longitud e igual dirección, se dice que son equivalentes sin importar donde se localizan con respecto al origen son equivalentes.
          2. Vectores en R3
              1. los elementos de este conjunto se llaman vectores y los denotamos por = ( a , b , c ). Los elementos ( a , b , c ) ∈ R 3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional, definido con tres rectas mutuamente perpendiculares.
                1. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares.
                    1. Los vectores de R3 también se pueden representar mediante segmentos de rectas dirigidos o flechas. La norma de un vector
          3. Noción de distancia
            1. Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre ellos. Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que nos establece que:
            2. Definición algebraica de vector.
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