17909705
Combinación lineal y espacio generado
- Sean v1, v2,..., vn vectores en un espacio vectorial V, entonces cualquier vector de la forma (a1.v1+a2.v2+ ... + an.vn)
donde a1, a2, ... , an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2, ... , vn
- Ejemplos
- Combinación Lineal en R3
- Combinación lineal en M23
- Combinación Lineal en Pn
- En Pn todo polinomio se puede escribir como una
combinación lineal de los "monomios" 1, x, x^2, ..., x^n
- En Pn todo polinomio se puede escribir como una
combinación lineal de los "monomios" 1, x, x^2, ..., x^n
- Combinación Lineal en R3
- Ejemplos
- Conjunto generador
- Se dice que los vectores v1, v2, . . . , vn de un espacio vectorial
V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una
combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo v
Pertenece a V existen escalares a1, a2, . . . , an tales que
v=a1.v1+a2.v2+ . . . +an.vn
- Dados los vectores v1,v2,…,vr en V, llamamos subespacio generado por v1,v2,…, vr al conjunto de
todas las combinaciones lineales de estos vectores. Lo denotamos con la expresión gen {v1,v2,…,vr}
gen{v1,v2,…,vr}={v ∈ V : v=α1.v1+α2.v2+…+αr.vr,con αi ∈ R} subespacio de V.
- Ejemplo
- Las combinaciones lineales de los vectores ( 1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) son los
vectores coplanares con ( 1 , 0 , 2 ) y ( 0 , 0 , 1 )
- Son todos los vectores con segunda componente nula.
Es decir que el subespacio generado es el plano y = 0
Es decir, sea: gen{(1,0,2),(0,0,1)}={(x,y,z)∈R3:y=0}
- Son todos los vectores con segunda componente nula.
Es decir que el subespacio generado es el plano y = 0
Es decir, sea: gen{(1,0,2),(0,0,1)}={(x,y,z)∈R3:y=0}
- Las combinaciones lineales de los vectores ( 1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) son los
vectores coplanares con ( 1 , 0 , 2 ) y ( 0 , 0 , 1 )
- Ejemplo
- Se dice que los vectores v1, v2, . . . , vn de un espacio vectorial
V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una
combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo v
Pertenece a V existen escalares a1, a2, . . . , an tales que
v=a1.v1+a2.v2+ . . . +an.vn
- Si A = { v 1 , v 2 , … , v r } es un conjunto de vectores de un espacio vectorial V , entonces la ecuación
vectorial α 1 . v 1 + α 2 . v 2 + … + α r . v r = 0V tiene al menos la solución trivial: α 1 = α 2 = … = α r = 0
- Si ésta es la única solución, entonces se dice
que A es un conjunto linealmente
independiente.
- Si hay otras soluciones (además de la trivial)
entonces A es un conjunto linealmente dependiente.
- Si hay otras soluciones (además de la trivial)
entonces A es un conjunto linealmente dependiente.
- Una forma alternativa de
caracterizar la dependencia lineal es
la siguiente:
- Un conjunto de vectores { v 1 , v 2 , … , v r } de un espacio
vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si al menos
uno de los vectores puede expresarse como combinación lineal
de los demás.
- Ejemplo
- ¿Es el conjunto { ( 1 , 1 ) , ( 1 , – 1 ) } linealmente
independiente (LI) o linealmente dependiente (LD)?
- Se plantea la ecuación:
- Luego el conjunto es linealmente independiente (LI).
- Luego el conjunto es linealmente independiente (LI).
- Se plantea la ecuación:
- ¿Es el conjunto { ( 1 , 1 ) , ( 1 , – 1 ) } linealmente
independiente (LI) o linealmente dependiente (LD)?
- Ejemplo
- Un conjunto de vectores { v 1 , v 2 , … , v r } de un espacio
vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si al menos
uno de los vectores puede expresarse como combinación lineal
de los demás.
- Si ésta es la única solución, entonces se dice
que A es un conjunto linealmente
independiente.
Media attachments
Want to create your own Mind Maps for free with GoConqr? Learn more.