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Description
Mind Map by Edgar Javier Nieto Contreras, updated more than 1 year ago
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Created by Edgar Javier Nieto Contreras
about 4 years ago
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SISTEMAS LINEALES
HOMOGÉNEOS
- DEFINICION
- Son aquellas ecuaciones lineales que tienen constantes
iguales a cero
- Que la solución general de estos sistemas se puede escribir
como una combinación lineal de n − r vectores donde n es el
número de las incógnitas, y r es el número de los
renglones no nulos en la forma escalonada
- El Sistema Lineales Homogéneos es un sistema de la forma
Ax = 0, esto es, con columna de constantes nula
- Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneas es compatible, porque
el vector cero es una de sus soluciones, llamada solución trivial.
- Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneas es compatible, porque
el vector cero es una de sus soluciones, llamada solución trivial.
- El Sistema Lineales Homogéneos es un sistema de la forma
Ax = 0, esto es, con columna de constantes nula
- Que la solución general de estos sistemas se puede escribir
como una combinación lineal de n − r vectores donde n es el
número de las incógnitas, y r es el número de los
renglones no nulos en la forma escalonada
- Son aquellas ecuaciones lineales que tienen constantes
iguales a cero
- TIPOS DE SOLUCIONES
- Para un sistema de ecuaciones lineales hay
dos casos posibles
- --- Puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solución (la trivial)
- --- Puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una solución no trivial
- --- Puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una solución no trivial
- --- Puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solución (la trivial)
- Para un sistema de ecuaciones lineales hay
dos casos posibles
- EJEMPLOS
- Hay que determinar cuál situación tiene caso y
describir el conjunto de todas las soluciones
- Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales homogéneas:
- Solución: La columna de constantes es nula y sigue siendo
nula al aplicar operaciones elementales. Por eso no es
necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar
con la matriz de coeficientes
- Por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el
sistema es compatible. Como r = 2 y n = 4, es compatible
indeterminado. Tenemos n − r = 2 variables libres. Los
pivotes est´an en las columnas 1 y 2, por eso expresamos
x1 y x2 a trav´es de las variables x3 y x4
- Notamos que la solución general se puede expandir en una
combinación lineal de dos vectores constantes:
- Son soluciones básicas de este sistema de ecuaciones. Hay que
hacer la comprabación para los vectores u1 y u2. La hacemos en
forma matricial
- Son soluciones básicas de este sistema de ecuaciones. Hay que
hacer la comprabación para los vectores u1 y u2. La hacemos en
forma matricial
- Notamos que la solución general se puede expandir en una
combinación lineal de dos vectores constantes:
- Solución: La columna de constantes es nula y sigue siendo
nula al aplicar operaciones elementales. Por eso no es
necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar
con la matriz de coeficientes
- Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales homogéneas:
- Hay que determinar cuál situación tiene caso y
describir el conjunto de todas las soluciones
- OTROS EJEMPLOS
- SOLUCION
- Ahora la matriz del sistema es escalonada, y el número de
los renglones no nulos es r = 3 = n. Por eso el sistema es
compatible determinado, esto es, la ´unica solución es la
trivial: x = 0
- En este ejemplo no hay sentido hacer la comprobación para x = 0.
Sería más importante comprobar que la matriz del sistema en
forma escalonada efectivamente tiene 3 renglones no nulos (en
otras palabras, que el rango del sistema es igual a 3), pero en este
momento del curso no tenemos métodos para comprobarlo
- En este ejemplo no hay sentido hacer la comprobación para x = 0.
Sería más importante comprobar que la matriz del sistema en
forma escalonada efectivamente tiene 3 renglones no nulos (en
otras palabras, que el rango del sistema es igual a 3), pero en este
momento del curso no tenemos métodos para comprobarlo
- Ahora la matriz del sistema es escalonada, y el número de
los renglones no nulos es r = 3 = n. Por eso el sistema es
compatible determinado, esto es, la ´unica solución es la
trivial: x = 0
- SOLUCION
- SOLUCION
- AquÍ r = 2, n = 3, r < n, por lo
tanto el sistema es compatible
indeterminado
- La solución general se puede
escribir en forma:
- :
- Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas, Cada
solución es un múltiplo de la solución básica u = 34
−11 3> . Comprobación para la solución básica
- Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas, Cada
solución es un múltiplo de la solución básica u = 34
−11 3> . Comprobación para la solución básica
- :
- La solución general se puede
escribir en forma:
- AquÍ r = 2, n = 3, r < n, por lo
tanto el sistema es compatible
indeterminado
- SOLUCION
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