Convolución entre señales

Se denomina convolución a una función, que, de forma lineal y continua, transforma una señal de entrada en una nueva señal de salida. La función de convolución se expresa por el símbolo * en pocas palabras la convolución es una operación matemática que combina dos señales para producir una tercera señal.
Propiedades de la convolución
1. Asociatividad
  1. Ley Asociativa: f1(t)*(f2(t)*f3(t))=(f1(t)*f2(t))*f3(t)
2. Conmutatividad
  1. Ley Conmutativa: y(t) = f(t)*h(t) = h(t)*f(t)
    1. Para probar la Equation, lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma)
      1. Dejando τ=t−τ, podemos mostrar fácilmente que la convolución es conmutativa:
        La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.
3. Distribución
  1. Ley Distributiva: 1(t)*(f2(t)+f3(t))=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)
    1. La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.
4. Desplazamiento en el Tiempo
  1. Propiedad de Desplazamiento, Para c(t)=f(t)*h(t), entonces: c(t−T)=f(t−T)*h(t) c(t−T)=f(t)*h(t−T)
    1. Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento
5. Convolución con un Impulso
  1. Convolución con Impulso Unitario: f(t)*δ(t)=f(t)
    1. Para este demostración, dejaremos que δ(t) sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución
      1. De la definición del impulso unitario, conocemos que δ(τ)=0 siempre que τ≠0. Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:
        La integral de δ(τ) solo tendrá un valor cuando τ=0 (de la definición del impulso unitario), por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema: f(t)*δ(t)=f(t)
        Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan la función identidad del impulso unitario.
6. Ancho
  1. En tiempo continuo, si la Duración(f1)=T1 y la Duración (f2)=T2 , entonces Duración(f1*f2)=T1+T2
    1. n tiempo continuo, la duración de la convolución resulta igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos señales convolucionadas.
    2. En tiempo discreto si la Duración (f1)=N1 y la Duración (f2)=N2 , entonces Duración(f1*f2)=N1+N2−1
7. Causalidad
  1. Si f y h son ambas causales, entonces f*h también es causal
Usos y aplicaciones comunes
1. En estadística, como un promedio móvil ponderado.
2. En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
3. En óptica, muchos tipos de “manchas” se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
4. En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.
5. En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
6. En física, allí donde haya un sistema lineal con un “principio de superposición”, aparece una operación de convolución.

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