Unidad 1

Unidad 1

1.1 Funciones y sus gráficas
1. Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de un números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número es el único para cada valor específico de x
  1. Si f es una función entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x,y) del plano R2 para los cuales (x,y) es un par ordenado de f
1.2 Operaciones con funciones y tipos de funciones
1. Una función f es una función par si para cada x del dominio de f, f(-x)=f(x)
2. Una función f es una función impar si para cada x del dominio de f, f(-x) = -f(x)
3. Dada las dos funciones f y g
  1. Su suma, denotada por f+g es la función definida por (f+g)(x)= f(x)+g(x)
  2. Su diferencia, denotada por f-g , es la función definifa por (f-g)(x)= f(x) - g(x)
  3. su producto, denotado por f*g, es la función definida por (f*g)(x)= f(x)* g(x)
  4. Su cociente, denotado por f/g es la función definida por (f/g)(x)= f(x)/g(g) g(x) ≠ 0
1.3 Funciones como modelos matemáticos
1. En las aplicaciones del Cálculo se necesita expresar una situación del mundo real en términos de una relación funcional, denominada modelo matemático
  1. Para resolver este tipo de problema lea cuidadosamente, determine las cantidades conocidas y desconocidas, anote cualquier hecho numérico, al final para determinar las cantidades desconocidas escriba una conclusión.
1.4 Introducción grafica a los limites de funciones
1. El primer contacto con límites concierne a límites de funciones. Para dar una idea del limite del limite de una función, una interpretación gráfica, los resultados se pueden confirmar analíticamente al emplear desigualdades
1.5 Definición de limite de una función y teoremas de limites
1. Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el numero mismo. El limite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como lim f(x) cuando x tiende a a = L
  1. Teorema 1, si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces limite cuando x tiende a 0 (mx+b)=ma+b
  2. Teorema 2, Limite de una función constante Lim c cuando x tiende a a es igual a c
  3. Teorema 3 d elimites, limite de la función identidad Lim cuando x tiende (x) a es igual a a
  4. Teorema 4, Limite d ela suma y de la diferencia de funciones, si limite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L y limimte de g de x cuando z tiende a a es igual a M entonces Lim de x cuando tiende a a {f(x)+-g(x)} es igual a L mas menos M
  5. Teorema 6 de limites, limite del producto de dos funciones
  6. Teorema 7, limite del producto de n funciones
  7. Teorema 8 de limites limite de la n-ésima potencia de una función
  8. teorema 9 de limites, limite del cociente de dos funciones
  9. Teorema, si a es cualquier número real diferente de cero, entonces Lim de 1/x cuando x tiende a a = 1/a
  10. Teorema Si a es mayor que 0 y n es un número entero positivo, o si a es menor o igual a 0 y n es un número entero impar, entonces lim de raíz de n de x cuando x tiende a a es igual a n raíz de a
1.6 Límites Laterales
1. Limite por la izquierda. Sea f una función definida en cada numero del intervalo abierto (a,c) Entonces, el límite de f(x), conforme x tiende a a por la derecha es L
2. Limite por la izquierda, Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (d,a) Entonces, el límite de f(x), conforme x tiende a a por la izquierda es L
1.7 Limites infinitos
1. Si a es cualquier número real y si Lim de f(x) cuando x tiende a a es igual a 0 y lim de g(x) = c, donde c es una constante diferente de 0,
  1. La recta de x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
    1. Lim (f) cuando x tiende a a+ = +infinito
    2. Lim (f) cuando x tiende a a+ = - infinito
    3. Lim f(x) cuando x tiende a a-= a + infinito
    4. Lim f(x) cuando x tiende a a- = - infinito
1.8 Continuidad de una función compuesta y continuidad
1. Se dice que la función es continua en el número a si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes
  1. f(a) existe
  2. Lim f(x) cuando x tiende a a, existe
    1. Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a
  3. Lim f(x) cuando x tiende a a = f(a)
1.10 Continuidad de las funciones trigonométricas y teorema de estricción
1. El teorema de estricción, suponga que las funciones f, g y h están definidas en algún intervalo abierto 1 que contiene a a y que f(x) es menor o igua que g(x) y limh(x) cuando x tiende a a, existen y son iguales a 1. Entonces lim g(x) cuando x tiende a a existe y es igual a L
2. Teorema lim sen t/ t cuando x tiende a 0 = 1
3. Teorema, la función seno es continua en 0
4. Teorema, la función coseno es continua en 0
5. Teorema lim 1-cos t/t cuando t tiende a 0 = 0
6. Teorema, la función seno y coseno son continuas en cada número real
7. Teorema. Las funciones, cotangente, secante y cosecante son continuas en sus dominios
1.9 Continuidad de una función compuesta y continuidad en un intervalo
1. Si lim g(x) = b y si la función f es continua en b, entonces Lim(f o g)(x) = f(b) o equivalentemente Lim de f(g(x)) = f (lim g(x) cuando x tiende a a)
2. Si la función de g es continua en a y la función f es continua en g(a), entonces la función f o g es continua en a
3. Definición de continuidad en lun intervalo abierto, si dice que una función es continua ene un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada número del intervalo
4. Se dice que la funcion f es continua por la derecha en el número a si cumplen las tres condiciones
  1. f(a) existe
  2. Lim f(x) cuando a tiende a a por la derecha existe
  3. Lim f(x) cuando x tiende a a por la derecha = f(a)
5. Se dice que la funcion f es continua por la izquierda en el número a si cumplen las tres condiciones
  1. f(a) existe
  2. Lim f(x) cuando a tiende a a por la izquierda existe
  3. Lim f(x) - f(a) cuando x tiende a a-

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