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Description
Mind Map by Daniel Camilo Parra Diaz, updated more than 1 year ago
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Created by Daniel Camilo Parra Diaz
about 3 years ago
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Mapa Mental Matriz inversa y Matriz
transpuesta
- Matriz Inversa
- Una matriz inversa es la transformación lineal de una
matriz mediante la multiplicación del inverso del
determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta.
Es decir, una matriz inversa es la multiplicación
del inverso del determinante por la matriz adjunta
traspuesta.
- Las dos líneas paralelas alrededor de X en el denominador
indican que es el determinante de la matriz X. Cuando una
matriz cuadrada tiene matriz inversa decimos que es una matriz
regular.
- Ejemplo práctico Encuentra la matriz inversa de
la matriz V.
- Para resolver este ejemplo podemos aplicar la fórmula o
primero calcular el determinante y luego sustituirlo.
- Para resolver este ejemplo podemos aplicar la fórmula o
primero calcular el determinante y luego sustituirlo.
- Ejemplo práctico Encuentra la matriz inversa de
la matriz V.
- Las dos líneas paralelas alrededor de X en el denominador
indican que es el determinante de la matriz X. Cuando una
matriz cuadrada tiene matriz inversa decimos que es una matriz
regular.
- Requisitos
- Para encontrar la matriz inversa de una matriz de orden n
necesitamos cumplir con los siguientes requisitos: La matriz
tiene que ser una matriz cuadrada. El número de filas (n) tiene
que ser el mismo que el número de columnas (m). Es decir, el
orden de la matriz tiene que ser n dado que n=m.
- El determinante debe ser distinto de cero (0). El determinante
de la matriz debe ser distinto de cero (0) dado que participa en
la fórmula como denominador. Si el denominador fuera un cero
(0) tendríamos una indeterminación. Si el denominador (ad –
bc) = 0, es decir, el determinante de la matriz X es igual a cero
(0), entonces la matriz X no tiene matriz inversa.
- Fórmula
- Fórmula con determinante
- Primero calculamos el determinante de la matriz V y
luego lo sustituimos en la fórmula.
- Entonces, obtenemos que el determinante de la matriz V es distinto de
cero (0) y podemos decir que la matriz V sí tiene matriz inversa.
- Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula o primero calculando el
determinante y luego sustituirlo. El orden de la matriz inversa es el mismo que el orden
de la matriz original. En este caso, tendremos el mismo número de filas n y de
columnas m tanto en la matriz V y V-1.
- Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula o primero calculando el
determinante y luego sustituirlo. El orden de la matriz inversa es el mismo que el orden
de la matriz original. En este caso, tendremos el mismo número de filas n y de
columnas m tanto en la matriz V y V-1.
- Entonces, obtenemos que el determinante de la matriz V es distinto de
cero (0) y podemos decir que la matriz V sí tiene matriz inversa.
- Primero calculamos el determinante de la matriz V y
luego lo sustituimos en la fórmula.
- Fórmula con determinante
- Fórmula
- El determinante debe ser distinto de cero (0). El determinante
de la matriz debe ser distinto de cero (0) dado que participa en
la fórmula como denominador. Si el denominador fuera un cero
(0) tendríamos una indeterminación. Si el denominador (ad –
bc) = 0, es decir, el determinante de la matriz X es igual a cero
(0), entonces la matriz X no tiene matriz inversa.
- Para encontrar la matriz inversa de una matriz de orden n
necesitamos cumplir con los siguientes requisitos: La matriz
tiene que ser una matriz cuadrada. El número de filas (n) tiene
que ser el mismo que el número de columnas (m). Es decir, el
orden de la matriz tiene que ser n dado que n=m.
- Propiedad
- Una matriz cuadrada X de orden n tendrá
una matriz inversa X de orden n, X-1, tal que
cumple que
- El orden de los elementos de la multiplicación no es
relevante, es decir, la multiplicación de una matriz
cuadrada cualquiera por su matriz inversa siempre
resultará en la matriz identidad del mismo orden. En este
caso, el orden de la matriz X es 2. Entonces, podemos
reescribir la propiedad anterior como:
- El orden de los elementos de la multiplicación no es
relevante, es decir, la multiplicación de una matriz
cuadrada cualquiera por su matriz inversa siempre
resultará en la matriz identidad del mismo orden. En este
caso, el orden de la matriz X es 2. Entonces, podemos
reescribir la propiedad anterior como:
- Una matriz cuadrada X de orden n tendrá
una matriz inversa X de orden n, X-1, tal que
cumple que
- Una matriz inversa es la transformación lineal de una
matriz mediante la multiplicación del inverso del
determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta.
Es decir, una matriz inversa es la multiplicación
del inverso del determinante por la matriz adjunta
traspuesta.
- Matriz Transpuesta
- Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz
original mediante el cambio de filas por columnas y las
columnas por filas en una nueva matriz. En otras palabras, la
matriz traspuesta es la acción de seleccionar las filas de la
matriz original y reescribirlas como columnas en la nueva
matriz e invertir el proceso para las columnas.
- Generalmente cuando cambiamos las filas por columnas y las columnas
por filas lo indicamos añadiendo un superíndice T o un apóstrofe en el
nombre de la matriz original. Si añadimos el superíndice T, deberemos
tener presente que estamos trabajando con matrices y que el
superíndice no es ningún exponente.
- Fórmula de una matriz traspuesta nxm Dada una matriz Z
cualquiera con n filas y m columnas podemos construir la
matriz traspuesta, ZT, que tendrá m filas y n columnas.
- Trasposición de una matriz cuadrada
- Dependiendo de la tipología de la matriz, el orden de la matriz también
cambiará cuando hagamos su traspuesta.
- Dependiendo de la tipología de la matriz, el orden de la matriz también
cambiará cuando hagamos su traspuesta.
- Trasposición de una matriz cuadrada
- Fórmula de una matriz traspuesta nxm Dada una matriz Z
cualquiera con n filas y m columnas podemos construir la
matriz traspuesta, ZT, que tendrá m filas y n columnas.
- Generalmente cuando cambiamos las filas por columnas y las columnas
por filas lo indicamos añadiendo un superíndice T o un apóstrofe en el
nombre de la matriz original. Si añadimos el superíndice T, deberemos
tener presente que estamos trabajando con matrices y que el
superíndice no es ningún exponente.
- Propiedades
- La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.
- La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las
matrices traspuestas.
- El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al
producto de la constante h por la matriz traspuesta.
- El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al
producto de la multiplicación de matrices traspuestas.
- El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al
producto de la multiplicación de matrices traspuestas.
- El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al
producto de la constante h por la matriz traspuesta.
- La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las
matrices traspuestas.
- La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.
- Aplicaciones
- Las matrices traspuestas están más presentes de lo que
creemos. En econometría encontramos trasposiciones
cuando expresamos las matrices en forma cuadrática.
Asimismo, la fórmula del estimador de Mínimos Cuadrados
Ordinarios (MCO) en forma matricial:
- Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original
mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una
nueva matriz.
- Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original
mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una
nueva matriz.
- Las matrices traspuestas están más presentes de lo que
creemos. En econometría encontramos trasposiciones
cuando expresamos las matrices en forma cuadrática.
Asimismo, la fórmula del estimador de Mínimos Cuadrados
Ordinarios (MCO) en forma matricial:
- Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz
original mediante el cambio de filas por columnas y las
columnas por filas en una nueva matriz. En otras palabras, la
matriz traspuesta es la acción de seleccionar las filas de la
matriz original y reescribirlas como columnas en la nueva
matriz e invertir el proceso para las columnas.
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