31999300
Description
Mind Map by Ingri Garcia, updated more than 1 year ago
|
Created by Ingri Garcia
over 4 years ago
|
|
MATRIZ
INVERSA
- Definición
- La matriz inversa de una matriz dada,
es la matriz que multiplicada por la
original da como resultado la matriz
identidad. La matriz inversa es útil
para resolver sistemas de ecuaciones
lineales, de allí la importancia de
saber calcularla.
- Existencia de la matriz inversa
- Las matrices que tienen inversa se llaman
regulares y las que NO tienen inversa, singulares.
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y
solo si, su rango es n. Una matriz cuadrada de
orden n es singular si, y solo si, su determinante
es cero.
- Importancia
- Las matrices son de gran utilidad en física,
ingeniería y matemáticas, ya que son una
herramienta compacta para resolver problemas
complejos. La utilidad de las matrices se potencia
cuando estas son invertibles y además se conoce
su inversa.
- Las matrices son de gran utilidad en física,
ingeniería y matemáticas, ya que son una
herramienta compacta para resolver problemas
complejos. La utilidad de las matrices se potencia
cuando estas son invertibles y además se conoce
su inversa.
- Importancia
- Las matrices que tienen inversa se llaman
regulares y las que NO tienen inversa, singulares.
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y
solo si, su rango es n. Una matriz cuadrada de
orden n es singular si, y solo si, su determinante
es cero.
- Existencia de la matriz inversa
- La matriz inversa de una matriz dada,
es la matriz que multiplicada por la
original da como resultado la matriz
identidad. La matriz inversa es útil
para resolver sistemas de ecuaciones
lineales, de allí la importancia de
saber calcularla.
- Propiedades
- Sean A y B dos matrices
regulares de dimensión n ,
entonces:
- Inversa del producto de matrices:
- La matriz inversa de A , A − 1 , es
regular y su inversa es A :
- Inversa de la matriz traspuesta:
- Inversa del producto de matrices:
- Sean A y B dos matrices
regulares de dimensión n ,
entonces:
- Se puede calcular la matriz inversa
por dos métodos:
- Método de
Gauss
- Dada una matriz A cuadrada de
dimensión n x n y regular, definimos la
matriz por bloques formada por la
matriz A y la matriz I n (matriz
identidad de dimensión n x n ):
- Por ejemplo, si A es dimensión 2x2,
- Y si es de dimensión 3x3,
- Para calcular la matriz inversa de A , se realizan
operaciones elementales fila para conseguir la
forma escalonada reducida de la matriz G .
Dicho en otras palabras, se realizan
operaciones elementales filas hasta conseguir
la matriz identidad en el bloque izquierdo de la
matriz G , es decir,
- Al terminar las operaciones, la matriz
identidad que había en el lado derecho se ha
transformado en otra matriz B . Esta matriz B
es precisamente la matriz inversa de A .
- Por ejemplo, si A es dimensión 2x2,
- Dada una matriz A cuadrada de
dimensión n x n y regular, definimos la
matriz por bloques formada por la
matriz A y la matriz I n (matriz
identidad de dimensión n x n ):
- Método de la
adjunta
- En este método
tenemos que aplicar la
siguiente fórmula
- Es decir, la matriz inversa de A es la matriz
transpuesta de la matriz adjunta dividida entre el
determinante de A . Nota: hemos llamado A ∗ a la
matriz adjunta de A . A veces, también se utiliza A ∗
para denotar la matriz ampliada de un sistema de
ecuaciones.
- El elemento de la posición fila i y columna j
de la matriz adjunta de A es
- siendo la matriz A i j la submatriz
de A obtenida al eliminar la fila i
y columna j de A .
- Es decir, la matriz inversa de A es la matriz
transpuesta de la matriz adjunta dividida entre el
determinante de A . Nota: hemos llamado A ∗ a la
matriz adjunta de A . A veces, también se utiliza A ∗
para denotar la matriz ampliada de un sistema de
ecuaciones.
- En este método
tenemos que aplicar la
siguiente fórmula
- Método de
Gauss
- Matriz de coofactores
- Sea A una matriz de orden n,
donde aij es el cofactor
correspondiente a aij, entonces la
matriz de cofactores se define
como:
- Sea A una matriz de orden n,
donde aij es el cofactor
correspondiente a aij, entonces la
matriz de cofactores se define
como:
- Ejemplo de matriz inversa
- Sea la matriz A la siguiente:
- Se calculan todos y cada uno de los
elementos de la matriz adjunta de A: Adj(A)
- Resultando que la matriz adjunta de A,
Adj(A) es la siguiente:
- Luego se calcula el determinante de la
matriz A, det(A):
- Finalmente se obtiene la matriz
inversa de A:
- Finalmente se obtiene la matriz
inversa de A:
- Luego se calcula el determinante de la
matriz A, det(A):
- Resultando que la matriz adjunta de A,
Adj(A) es la siguiente:
- Se calculan todos y cada uno de los
elementos de la matriz adjunta de A: Adj(A)
- Sea la matriz A la siguiente:
Media attachments
Want to create your own Mind Maps for free with GoConqr? Learn more.