Relaciones Funciones

Tipos de funciones
1. Función Inyectiva
  1. f : A → B es inyec,va ⇔{∀x1, x2∈A,[¬(x1= x2) ⇒¬( f (x1) = f (x2))]}
    1. f es inyec>va si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único elemento del dominio.
      1. Es necesario que N(A) ≤ N(B) para poder construir funciones inyec>vas.
        Si f es inyec>va, podemos regresar de f(x) a x por un solo camino, con lo cual se garan>za que, dado un elemento del rango de f, se puede encontrar un solo elemento de su dominio que le corresponda.
2. Función Inyectiva
  1. Una función f: X → Y es inyec>va, si y solo si para cualquier elección de números x1y x2, si x1≠ x2 en el dominio de f, entonces f(x1)≠ f(x2), esto es: ∀x1, x2∈X [(x1≠ x2) → (f(x1)≠ f(x2))]
    1. Criterio de la recta horizontal
      1. Una curva en el plano cartesiano representa una función inyec>va, si y solo si cualquier recta horizontal interseca su gráfica, como máximo, en un punto.
        f es inyec>va si para cualquier elección de un número x que pertenece al dominio de f, existe exclusivamente un valor y en el rango. En otras palabras, ningún valor “y” en el rango es imagen de más de un valor x en el dominio.
        Estas funciones también son denominadas uno a uno.
3. Función Sobreyectiva
  1. Una función f: X → Y es sobreyec>va, ssi todo elemento de Y se encuentra relacionado con algún elemento de X, lo cual se representa por: ∀y∈Y, ∃x∈X : [y = f (x)]
    1. f es sobreyec>va si todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados con por lo menos un elemento del dominio.
      1. Por lo tanto, el rango de f debe coincidir con el conjunto de llegada.
        Es decir: rg f = Y.
4. Función Compuesta
  1. Denotada por (gof)es una función que relaciona A con D, es decir, que a par>r de un elemento x de A, se ob>ene un elemento g(f(x)) de D.
5. Función creciente
  1. f es creciente en un intervalo Int, ssi para cualquier elección de x1y x2en el intervalo Int, siempre que x1< x2, tenemos f(x1) ≤ f(x2). ∀x1,x2∈Int[(x1< x2) → (f(x1) ≤ f(x2))]
6. Función decreciente
  1. f es decreciente en un intervalo Int, ssi para cualquier elección de x1y x2en el intervalo Int, siempre que x1< x2, tenemos f(x1) ≥ f(x2). ∀x1,x2∈Int[(x1< x2) → (f(x1) ≥ f(x2))]
7. Función monótona
  1. Se dice que f es una función monótona en un intervalo Int, ssi fes o estrictamentecreciente o estrictamentedecreciente en ese intervalo.
8. Función par
  1. Se dice que una función f es par si para todo x en su dominio, el número −x también estáen el dominio y además, f (−x) = f (x). ∀x ∈dom f [ f (−x) = f (x)]
9. Función impar
  1. Se dice que una función f es impar si para todo x en su dominio, el número −x también estáen el dominio y además, f (−x) = -f (x). ∀x ∈dom f: [ f (−x) = -f (x)]
10. Función periódica
  1. Una función f (x) que cumple la propiedad: ∃T ∈R+, ∀x∈domf [ f(x+T) = f(x)] se denomina periódica con período T.T:: período fundamental.
11. Función acotada
  1. Una función f es acotada (cuando su rango está contenido en un cierto intervalo limitado o acotado), si >ene la propiedad: ∃M,N ∈R, ∀x ∈dom f [N ≤ f (x) ≤ M] en donde M y N son valores reales que se denominan cota superior y cota inferior, respec>vamente.
12. Función Inversible
  1. Definición: f : A → B es inversible si y solo si su relación inversa es una función de B en A.
    1. Teorema
      1. f es una función inversible si y solo si es biyectiva
13. Función Inversa
  1. Si f : A → B es biyecWva, es posible construir la función inversa, definida como f–1: B → A

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