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Description
Mind Map by ADRIANA CASTILLO, updated more than 1 year ago
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Created by ADRIANA CASTILLO
almost 5 years ago
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Planos: Planos
paralelos y
perpendiculares
- Definición
- Los planos superficies rectas en el espacio. Poseen ecuaciones
que involucran generalmente a las tres variables x, y y z. La
ecuación de los planos se encuentra siguiendo también un
método específico.
- Planos Paralelos
- Dos planos son paralelos cuando no
tienen ningún punto en común y siempre
se mantienen a la misma distancia.
- Dos planos son paralelos cuando no
tienen ningún punto en común y siempre
se mantienen a la misma distancia.
- Planos Perpendiculares
- Dos planos son perpendiculares entre sí cuando
una recta contenida en uno de ellos es
perpendicular a otra recta contenida en el otro.
Las semirrectas que forman los bordes de los dos
planos A y B en las dos figuras que tienes a
continuación, son perpendiculares, luego los
planos que contienen a dichas semirrectas
también lo serán y la INTERSECCIÓN de los dos
planos crea una recta:
- Dos planos son perpendiculares entre sí cuando
una recta contenida en uno de ellos es
perpendicular a otra recta contenida en el otro.
Las semirrectas que forman los bordes de los dos
planos A y B en las dos figuras que tienes a
continuación, son perpendiculares, luego los
planos que contienen a dichas semirrectas
también lo serán y la INTERSECCIÓN de los dos
planos crea una recta:
- Planos Paralelos
- Los planos superficies rectas en el espacio. Poseen ecuaciones
que involucran generalmente a las tres variables x, y y z. La
ecuación de los planos se encuentra siguiendo también un
método específico.
- Para encontrar la ecuación de un plano en el
espacio se necesitan dos vectores que estén en
el plano o bien tres puntos que estén en el
plano. Los tres puntos sirven para encontrar
dos vectores. La idea general es encontrar un
vector perpendicular al plano. Se tiene un
punto P(xo , yo , zo) y Q(x, y, z). Ambos puntos
pertenecen a un plano cualquiera. También se
conoce un vector perpendicular a dicho plano:
n = ai + bj + ck. La ecuación del plano se
obtiene por la siguiente operación:
- (PQ)(n) = 0
- La operación anterior es un axioma de
perpendicularidad. Un vector es
perpendicular a otro si el producto
punto entre ellos es igual a 0. Siguiendo
la operación, se encuentra la ecuación
del plano que se estudia:
- La operación anterior es un axioma de
perpendicularidad. Un vector es
perpendicular a otro si el producto
punto entre ellos es igual a 0. Siguiendo
la operación, se encuentra la ecuación
del plano que se estudia:
- (PQ)(n) = 0
- [(x - xo)i + (y - yo)j + (z - zo)k]
[ai + bj + ck] = 0 a(x - xo) +
b(y - yo) + c(z - zo) = 0
- La anterior es la ecuación general de
un plano que contiene al punto P y es
perpendicular al vector n. Para
encontrar la ecuación reducida:
- ax - axo + by - byo + cz - czo
= 0 ax + by + cz = axo + byo +
czo Como axo, byo y czo son
constantes: ax + by + cz = d
- El procedimiento anterior es aplicable para cualquier plano.
Por ejemplo, el plano que contiene al punto P(1,1,1) y es
perpendicular al vector n = -2i + j - k: -2 (x - 1) + y - 1 - (z - 1) =
0 -2x + y - z = -2 +1 - 1 -2x + y - z = -2 2x -y + z = 2
- El procedimiento anterior es aplicable para cualquier plano.
Por ejemplo, el plano que contiene al punto P(1,1,1) y es
perpendicular al vector n = -2i + j - k: -2 (x - 1) + y - 1 - (z - 1) =
0 -2x + y - z = -2 +1 - 1 -2x + y - z = -2 2x -y + z = 2
- ax - axo + by - byo + cz - czo
= 0 ax + by + cz = axo + byo +
czo Como axo, byo y czo son
constantes: ax + by + cz = d
- La anterior es la ecuación general de
un plano que contiene al punto P y es
perpendicular al vector n. Para
encontrar la ecuación reducida:
- Las aplicaciones de las rectas en el
espacio tiene que ver con el
comportamiento lineal de fenómenos
que dependen de dos variables. Aunque
es raro que en la naturaleza los eventos
ocurran de forma lineal, es posible
encontrar caso as
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