ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2_3

ESTRUCTURA DE GRUPO
1. Es la estructura que poseen los sistemas formados por un conjunto y una operación binaria cuando dicha operación es asociativa.
  1. Contiene un elemento idéntico y todo elemento del conjunto tiene inverso para la operación.
  2. Grupo
    1. Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El sistema (G, *) tiene estructura de grupo si:
      1. i) Para todo a, b, c pertenece G a*(b*c) = (a*b)*c
      2. ii) Para todo e que pertenece a G tal que e*a = a, para todo a que pertenece a G
      3. iii) Para todo a que pertenece a G, si existe â que pertenece a G tal que â*a =
      4. Ejemplos de Grupos
        El conjunto de los números enteros y la operación de adición constituyen un sistema con estructura de grupo ya que:
        i) Para todo a, b, c que pertenece a Z : a + (b + c) = (a + b) + c
        ii) 0 pertenece a Z y es tal que 0 + a = a, para todo a que pertenece a Z
        iii) Para todo a que pertenece a Z, si existe -a que pertenece a Z tal que -a + a = 0
        Por lo que (Z, +) es un grupo.
        Otros sistemas conocidos que tienen estructura de grupo son:
        - Los números racionales con la adición.
        - Los números complejos con la adición.
        - Los números complejos diferentes de cero con la multiplicación.
        - Los polinomios con la adición.
        - Las matrices m x n con la adición.
        - Las matrices no singulares de orden n con la multiplicación.
ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CAMPO
1. Sea A un conjunto vacio
  1. Y sean + y *
    1. 2 operaciones binarias
      1. Tienen estructura de anillo sí
        i) V a, b, c E A
        a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
        iii) E inv. 0 E A tal que
        0+a = a, V a E A
        ii) V a, b E A
        a+b = b+a
        iv) V a E A E inv. -a E A
        tal que -a+a = 0
        v) V a, b, c E A
        a*(b*c) = (a*b)*c
        vi) V a, b, c E A
        a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
        (b+c)*a = (b*a)+(c*a)
2. Conmutativo
  1. Si V a, b E A
    1. a*b = b*a
3. De Unidad
  1. Si E inv. 1 E A tal que
    1. 1*a = a = a*1
      1. V a E A
4. Dominios Enteros
  1. Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
    1. con unidad de por lo menos 2 elementos
      1. donde 0 dif. 1; sí
        a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
        se dice que
        (A, +,*)
        se cumple
5. Campos
  1. Es un dominio entero
  2. Sea K un conjunto de por lo menos 2 elementos
    1. y sean + y *
      1. 2 operaciones binarias definidas en K
        El sistema (K, + ,*) es un campo sí
        i) K es un grupo abeliano
        su elemento identico se denota como 0
        ii) (K-{0},*) es un grupo abeliano
        iii) * es distributiva por
        la izquierda y derecha sobre +
ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS
1. DEFINICIONES
  1. FUNCIONES
    1. INYECTIVA
      1. PARA CADA VALOR DE Y NO CORRESPONDE UN VALOR DE X
    2. SUPRAYECTIVA
      1. PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
    3. BIYECTIVA
      1. PARA CADA VALOR DE Y EXISTE UN VALOR DE X
2. ISOMORFISMOS
  1. PROVIENE DE
    1. ISO = MISMO MORFO= FORMA
  2. EN FORMA SENCILLA ES
    1. LA IDEA DE DOS SISTEMAS TAN PARECIDOS QUE PARECIERA QUE SON LOS MISMOS
      1. EN UNA FUNCION BIYECTIVA
      2. EJEMPLO
3. HOMOMORFISMOS
  1. Es una función que preserva la estructura entre dos estructuras matemáticas relevantes.
    1. UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO
Propiedades elementales de los grupos
1. Grupo
  1. Sea el par (A ,* )
    1. Todo elemento de A es invertible en A respecto *
      1. Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
    2. (A , *) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo
      1. * es asociativa.
        Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
      2. * posee elemento neutro en A.
        Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
    3. Donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *
2. Subgupo
  1. Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
    1. Por ejemplo
      1. ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).
OPERACIONES BINARIAS Y SUSPROPIEDADES.
1. Operación binaria
  1. Una operación binaria definida en un conjunto S es una función de SxS en S. La imagen del par ordenado (a,b) bajo la operación * se representa con a*b
    1. Cerradura
      1. sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y sea T un subconjunto de S. se dice que T es cerrado respecto a la operación * si ∀ a,b ∈ T∶a*b∈T
    2. ∃ Elemento idéntico
      1. sea * una operación binaria definida en un conjunto S:
        Un elemento e ∈S es un idéntico izquierdo para * si e*a=a,∀ a∈S
        Un elemento e ∈S es un idéntico derecho para * si a*e=a,∀ a∈S
        Un elemento e ∈S es idéntico para * si es idéntico izquierdo e idéntico derecho.
    3. ∃ Elemento inverso
      1. sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y:
        Sea e un elemento idéntico izquierdo para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso izquierdo si del elemento ¯(a )∈S si ¯a*a=e
        Sea e un elemento idéntico derecho para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso derecho si del elemento ¯(a )∈S si a*¯a=e
        Sea e un elemento idéntico para *. Un elemento ¯a ∈S es un inverso del elemento a∈S si ¯a*a=e y a*¯a=e
    4. Asociatividad
      1. sea * una operación binaria definida en un conjunto S se dice que * es asociativa si
        ∀ a,b,c ∈S:a(b*c)=(a*b)*c
    5. sea * una operación binaria definida en un conjunto S. se dice que * es conmutativa si
      1. ∀ a,b∈S: a*b=b*a

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