Funciones cuadráticas en contextos socioculturales

Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz. Simbólicamente:
1. Ecuación de una parábola a partir del foco y la directriz
  1. Dado el foco y la directriz de una parábola, podemos encontrar la ecuación de la parábola. Consideremos, por ejemplo, la parábola cuyo foco está en (-2,5) y la directriz es y= 3 empezamos por considerar un punto general(x,y)en la parabola.
    1. El foco cae en el eje de simetría de la parábola .
      1. Encontrando el foco de una parábola dada su ecuación Si Usted tiene la ecuación de una parábola en la forma vértice y = a ( x - h ) 2 + k , entonces el vértice está en ( h , k ) y el foco está en ( h , k + 1/(4 a ) ). Estamos trabajando con una parábola con un eje de simetría vertical, así la coordenada en x del foco es la misma que la coordenada x del vértice.
        Ejemplo 1: Encuentra el foco de la parábola y = (1/8) x 2 . Aquí h = 0 y k = 0, así el vértice está en el origen. Las coordenadas del foco son ( h , k + 1/(4 a )) o (0, 0 + 1/(4 a )). Ya que a = 1/8, tenemos 1/(4a ) = 1/(1/2) = 2 El foco esta en (0, 2).
        Ejemplo 2: Encuentra el foco de la parábola y = -( x- 3) 2 - 2 . Aquí h = 3 y k = -2, así el vértice está en (3, -2). Las coordenadas del foco son ( h , k + 1/(4 a )) o (3, -2 + 1/(4 a )). Aquí a = -1, así -2 + 1/(4 a ) = -2 - 1/4 = -2.25 El foco esta en (3, -2.25).
  2. Mediante la formula de la distancia, determinamos entre (x,y) y el foco(-2,5) y la directriz es y=3. empezamos por considerar un punto general (x,y) en la parabola.
2. P = { P ( x , y ) | d ( P , r ) = d ( P , F ) }
3. El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice
  1. Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son V ( 0 , 0 ) , las del foco F ( c , 0 ) y la recta directriz está dada por r : x = – c . Las coordenadas de un punto genérico Q que pertenece a la directriz son ( – c , y ) .
    1. El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza su eje de simetría. Si el coeficiente del término x 2 es positivo, el vértice será el punto más bajo en la gráfica, el punto en la parte baja de la forma “U”. Si el coeficiente del término x 2 es negativo, el vértice será el punto más alto en la gráfica, el punto en la parte alta de la forma “U”.
      1. La formulacion estandar de una parabola es y = hacha 2 + bx + c . Pero la ecuación para una parábola también puede ser escrita en la "forma vértice": y = un ( x - h ) 2 + k En esta ecuación, el vértice de la parábola es el punto ( h , k ).
        Puede ver como se relaciona esto con la formula estandar al multiplicar: y = un ( x – h )( x – h ) + k y = ax 2 – 2 ahx + ah 2 + k El coeficiente de x aquí es – 2 ah . Esto significa que en la forma estándar, y = ax 2 + bx + c , la expresión da la coordenada en x del vértice .
        Ejemplo: Encuentro el vértice de la parábola. y = 3 x 2 + 12 x – 12 Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es: Sustituyendo en la fórmula original para obtener la coordenada en y , obtenemos: y = 3(–2) 2 + 12(–2) – 12 = –24 Así, el vértice de la parábola está en ( -2, -24 ) .
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Pero el concepto geométrico de parábola es más amplio
1. El siguiente gráfico muestra una «parábola acostada»:
2. Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros graficáramos en algún programa de computadora el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x – 2 y = 0 , obtendríamos la siguiente gráfica:
La directriz es perpendicular al eje de simetría de una parábola y no toca la parábola. Si el eje de simetría de una parábola es vertical, la directriz es una recta horizontal .
1. Relación entre el foco, vértice y directriz: El vértice de la parábola esta a una distancia igual entre el foco y la directriz. Si F es el foco de la parábola, V es el vértice y D es el punto de intersección de la directriz y el eje de simetría, entonces V es el punto medio del segmento de recta .
Ecuación canónica de una parábola Para determinar la ecuación canónica o reducida de una parábola situemos un sistema de referencia de manera que el eje de abscisas coincida con el eje de la parábola y el origen O, con el punto medio del segmento DF, donde D es la proyección ortogonal del foco F sobre la directriz. Pongamos PF = p, entonces el punto F en este sistema de referencia tiene por coordenadas F (p/2, 0) y la ecuación de la directriz es r  x + p/2 = 0. Sea P (x, y) un punto cualquiera del plano, por definición de parábola la igualdad
La ecuación canónica de una parábola es una manera de escribir y describir los principales aspectos de una parábola. Sabiendo interpretar una ecuación canónica de manera correcta se puede llegar a conocer algunas de las características más importantes en una parábola, por ejemplo, simplemente con ver la estructura de la ecuación que se plantea se puede saber hacia dónde abre la parábola o donde está posicionado el vértice, y luego para saber las coordenadas del foco o el valor del parámetro (p) simplemente basta con hacer unas cuantas operaciones sencillas para tener todos los datos que permiten graficar una parábola.
1. Estructura de la ecuación canonica Todas las ecuaciones que están en la imagen anterior son ecuaciones canónicas de parábolas, pero cada una tiene algunas cosas que varían, como el orden de las variables o algunos signos, y estos pequeños cambios son los que provocan que haya parábolas que apunten hacia la derecha, izquierda, arriba y abajo, como se puede observar en la imagen. A continuación se explicará como reconocer de que tipo de parábola es una ecuación.
  1. Saber la dirección de una parábola Cuando una ecuación tiene elevado al cuadrado el paréntesis que contiene a la variable “x”, entonces es una parábola vertical, es decir, que la parábola abre hacia arriba o hacia abajo (es decir que esta es una función), pero si por el contrario el paréntesis que está al cuadrado es el que contiene a la variable “y”, entonces la parábola es horizontal, es decir, que la parábola abre hacia la derecha o hacia la izquierda.
    1. Apertura de una parábola Ahora bien, para saber con exactitud hacia donde es la apertura de la parábola hay que ver el signo de “4p”, si el signo de “4p” es positivo entonces la parábola abrirá hacia los números positivos, es decir, que si es una parábola vertical abrirá hacia arriba y si es una parábola horizontal abrirá hacia la derecha, y si “4p” es negativo (-4p) entonces la parábola abrirá hacia los números negativos, es decir, que si es una parábola horizontal abrirá hacia la izquierda y si es una parábola vertical esta abrirá hacia arriba.
      1. Por ejemplo: la parábola que se da por la ecuación (x - 3)2 = -4(y+4) es una parábola que se abre hacia abajo, (y+4) 2 = 4(x - 3) es una parábola que abre hacia la derecha. De esta manera ya se puede saber la dirección de la parábola simplemente con mirar la ecuación canónica.
      2. Vertice en la ecuación canonica Como se puede observar en las ecuaciones también están las variables “h” y “k”, como ya se sabe estas variables son las coordenadas (x,y) del vértice de la parábola, el vértice es el punto máximo o mínimo de la parábola (dependiendo de hacia dónde se abre) y este siempre está en el centro de la parábola y es quizás el punto más importante de una parábola y con la ecuación canónica se puede conocer la coordenada del vértice, pero ojo, a los valores que tienen “h” y “k” en la ecuación hay que cambiarles el signo, si es negativo hay que pasarlo a positivo y viceversa, esto porque en la ecuación canónica el signo anterior a “h” y “k” es negativo, entonces esto hace que tengan el signo contrario. Un truco para recordar cual es “h” y cuál es ” k” es que “h” siempre estará en el paréntesis de “x” y “k” siempre estará en el paréntesis de “y”.
        Parámetro en la ecuación canónica Este es la distancia que hay entre el foco y el vértice y entre el vértice y la directriz, y se representa por la letra “p”, y este si está explícitamente en la ecuación canónica, lo único que está representado como “4p” lo que quiere decir que el número que este allí será igual a 4 veces el valor de “p” por lo tanto, para encontrar el valor genuino de “p” se debe dividir ese número entre 4. Por ejemplo: en la ecuacion (x -3) 2 = 12(y+3): en la posición de “4p” está el numero 12, así que para encontrar “p” se divide 12/4 y el resultado de esto es 3, por lo que “p” vale 3. Ahora bien, el valor de la línea recta es 4 veces p, por lo que en este caso el valor de la línea recta sería 12.
Traslación verticalPara hacer una transformación en vertical sumamos o restamos una constante, es decir, {y = x^2 + k} Si {k > 0}, {y = x^2} se desplaza hacia arriba {k} unidades Si {k < 0}, {y = x^2} se desplaza hacia abajo {k} unidades El vértice de la parábola es: {(0, k)} El eje de simetría {x = 0} Tomamos dos ejemplos donde la constante {k} es positiva y negativa.
raslación horizontal Para hacer una transformación en horizontal sumamos o restamos una constante pero esta vez dentro del término cuadrático, es decir, {y = (x + h)^2} Si {h > 0}, {y = x^2} se desplaza hacia la izquierda {h} unidades Si {h < 0}, {y = x^2} se desplaza hacia la derecha {h} unidades El vértice de la parábola es: {(-h, 0)} El eje de simetría es {x = -h} Tomamos dos ejemplos donde la constante {h} es positiva y negativa.

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