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Description
Mind Map by Daniel Macanudo, updated more than 1 year ago
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Created by Daniel Macanudo
over 1 year ago
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Conjuntos e Relações
- Relações equivalentes
- Definição
- Uma relação R sobre um conjunto A é chamada uma relação de equivalência relação de equivalência se
ela for uma relação se ela for uma relação reflexiva, simétrica e transitiva
- Reflexiva
- A é relacionado a
A
- A é relacionado a
A
- Simétrica
- A é relacionado com B, então B é relacionado com A
- A é relacionado com B, então B é relacionado com A
- Transitiva
- A é relacionado com B e B é relacionado com C então A é relacionado com C
- A é relacionado com B e B é relacionado com C então A é relacionado com C
- Reflexiva
- Uma relação R sobre um conjunto A é chamada uma relação de equivalência relação de equivalência se
ela for uma relação se ela for uma relação reflexiva, simétrica e transitiva
- Partições
- Definição: Uma partição ou conjunto quociente de um conjunto não vazio A é uma coleção P de
subconjuntos não vazios de A tal que: 1. Cada elemento de A pertence a algum dos conjuntos em P 2.
Se A1 e A2 são elementos distintos em P, então A1∩A2=∅.
- Conjunto P
- Uma partição P pode ser usada para construir uma relação de
equivalência sobre A.
- Teorema: Seja R uma relação de equivalência sobre A e seja P a coleção de todos os conjuntos relativos
R(a), para todo a∈A. Então P é uma partição de A, e R é a relação de equivalência determinada por P.
- Se R é uma relação de equivalência sobre A, então
os conjuntos R(a) são chamados de classes de
equivalência de R.
- A partição P construída no teorema acima consiste
portanto de todas as classes de equivalência de R e esta
partição é denotada por A/R.
- Partições de um conjunto A também são chamadas
de “conjuntos quocientes” de A, e a notação A/R
lembra que P é o conjunto quociente de A que é
construído e determinado por R.
- Se R é uma relação de equivalência sobre A, então
os conjuntos R(a) são chamados de classes de
equivalência de R.
- Teorema: Seja R uma relação de equivalência sobre A e seja P a coleção de todos os conjuntos relativos
R(a), para todo a∈A. Então P é uma partição de A, e R é a relação de equivalência determinada por P.
- Uma partição P pode ser usada para construir uma relação de
equivalência sobre A.
- Conjunto P
- Definição: Uma partição ou conjunto quociente de um conjunto não vazio A é uma coleção P de
subconjuntos não vazios de A tal que: 1. Cada elemento de A pertence a algum dos conjuntos em P 2.
Se A1 e A2 são elementos distintos em P, então A1∩A2=∅.
- Definição
- Relações de ordem
- Ordem total
- antissimétrica
- Se a ≤ b e b ≤ a então a=b
- Se a ≤ b e b ≤ a então a=b
- reflexiva
- a ≤ a
- a ≤ a
- transitiva
- a ≤ b, b ≤ c implica em a ≤ c
- a ≤ b, b ≤ c implica em a ≤ c
- ordem parcial
- Toda ordem total é também parcial
- Elementos mínimos e máximos
- Seja R uma relação de ordem sobre um conjunto X, e A um
subconjunto de X. Um elemento mínimo de A sob R é um
elemento m ∈ A se (m, a) ∈ R para todo a ∈ A.
- Um elemento m de A é máximo sob uma
relação R se (a, m) ∈ R para todo a ∈ A.
- Seja R uma relação de ordem sobre um conjunto X, e A um
subconjunto de X. Um elemento mínimo de A sob R é um
elemento m ∈ A se (m, a) ∈ R para todo a ∈ A.
- Elementos minimais e maximais
- Seja R uma relação de ordem sobre um conjunto X, e
A um subconjunto de X. Um elemento minimal de A
sob R é um elemento m ∈ A tal que não existe
nenhum a ∈ A, diferente de m, com (a, m) ∈ R.
- Um elemento maximal de A sob R é um elemento m de A
tal que não existe nenhum a em A, diferente de m, tal que
(m, a) ∈ R
- Seja R uma relação de ordem sobre um conjunto X, e
A um subconjunto de X. Um elemento minimal de A
sob R é um elemento m ∈ A tal que não existe
nenhum a ∈ A, diferente de m, com (a, m) ∈ R.
- Toda ordem total é também parcial
- antissimétrica
- Ordem total
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