Conjuntos e Relações

Conjuntos e Relações

1. Relações de equivalência

2. Relações de equivalência

   • Definição
     • Uma relação R sobre um conjunto A é chamada uma relação de equivalência se ela for uma relação reflexiva, simétrica e transitiva.
       • Reflexiva
         • A é relacionada a A.
       • Transitiva
         • A é relacionado com B e B é relacionado com C, então, A é relacionado com C.
       • Simétrica
         • A é relacionado com B, então, B é relacionado com A.
   • Partições
     • Definição: Uma partição ou conjunto quociente de um conjunto não vazio A é uma coleção P de subconjuntos não vazios de A, tal que 1. Cada elemento de A pertence a algum dos conjuntos em P2. Se A1 e A2 são elementos distintos em P, então, A1UA2=0.
       • Conjunto P
         • Uma partição P pode ser usada para construir uma relação de equivalência sobre A.
           • Teorema: Seja R uma relação de equivalência sobre A e seja P a coleção de todos os conjuntos relativos R(a), para todo aEA. Então P é uma partição de A, e R é a relação de equivalência determinada P.
             • Se R é uma relação de equivalência sobre A, então, os conjuntos R(a) são chamados de classes de equivalência de R.
             • A partição P construída no teorema acima consiste portanto de todos as classes de equivalência de R e esta partição é denotada por A/R.
             • Partições de um conjunto A também são chamadas de "conjuntos quocientes" de A, e a notação A/R lembra que P é o conjunto quociente de A que é construído e determinação por R

3. Relações de ordem

   • Ordem total
     • Antissimétrica
       • Se a é menor ou igual b e b menor ou igual a, então, a=b.
     • Reflexiva
       • a é menor ou igual a
     • Transitiva
       • a é menor ou igual b, b é menor ou igual c, implica em a é menor ou igual c.
   • Ordem parcial
     • Toda ordem total é também parcial.
     • Elementos mínimos e máximos
       • Um elemento m de A é máximo sob uma relação R se (a,m) E R para todo a E A.
       • Seja R uma relação de ordem sobre o conjunto X, e A um subconjunto de X. Um elemento mínimo de A sob R é um elemento m e A se (m,a) E R para todo a E A.
     • Elementos minimais e maximais
       • Seja R uma relação de ordem sobre um conjunto X e A um subconjunto de X. Um elemento minimal de A sob R é um elemento m E A, tal que, não existe nenhum a E A diferente de m, com (a,m) E R.
       • Um elemento maximal de A sob R é um elemento m de A, tal que, não existe nenhum a em A diferente de m, tal que, (m,a) E R.