Relações de Equivalência

Relações de Equivalência

1. Definição: Uma relação R em um conjunto A será considerada relação de equivalência se for: Reflexiva, simétrica e transitiva

   • Reflexiva: Se para todo x ∈ A, tem-se que (x,x) ∈ R.
   • Simétrica: Se para todo x, y ∈ R → (y, x) ∈ R
   • Transitiva: Se para todo x, y, z ∈ A, ,(x, y) ∈ R e (y,z) ∈ R, então (x, z) ∈ R.

2. Classes de Equivalência

   • Definição: Sejam A um conjunto não vazio, R ⊂ A × A uma relação de equivalência em A e a ∈ A. Definimos a classe de equivalência do elemento a ∈ A, denotada por: a¯:= {x ∈ A|(x, a) ∈ R}

3. Conjunto-quociente

   • Definição: Sejam A um conjunto não vazio e R ⊂ A × A uma relação de equivalência em A. Definimos o conjunto quociente de A por R, denotado A/R, por: A/R def = {x¯, ∀x ∈ A}

4. Partição de um conjunto

   • Sejam A um conjunto e P ⊂ P(A) um subconjunto das partes de A. Dizemos que P é uma partição de A, somente se:
     • 1 - dois membros quaisquer de P ou são iguais ou são disjuntos;
       • II - a união dos membros de P é igual a A;