PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS E DIAGRAMAS LÓGICOS

PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS E DIAGRAMAS LÓGICOS

1. sentenças abertas

   • expressões que possuem um termo variável. Por possuírem esse termo variável, não há como atribuir-lhes valor lógico e, portanto, não são proposições.
     • 𝑥 + 10 = 50 Sendo 𝑥 uma variável, não sabemos se a expressão acima é verdadeira ou falsa.
     • Aquele homem é careca. A variável aqui é "aquele homem". Não é possível atribuir um valor lógico a essa sentença por não saber a que homem ela está se referindo. É, portanto, uma sentença aberta.

2. Proposições Quantificadas e Categóricas

   • Agora que relembramos o que é uma sentença aberta, vamos descobrir como a transformamos em uma proposição. Para esse fim, podemos recorrer a duas alternativas:
     • 1. Você pode atribuir um valor à variável. o 20 + 10 = 50. Substituímos o 𝑥 por 20 e agora é possível julgar a expressão. Temos uma proposição falsa, uma vez que o resultado dessa soma é 30 e não 50.
     • 2. Você pode usar quantificadores. Os quantificadores são palavras e/ou expressões que, ao serem usados em sentenças abertas, permitem transformá-las em proposições. Essas proposições passam a ser chamadas de proposições quantificadas. Existem dois tipos de quantificadores.
       • Quantificador Universal - ∀
         • o ∀𝒙, 𝑥 + 10 = 50 Lemos essa expressão da seguinte forma: "qualquer que seja 𝒙, x mais dez é igual a cinquenta.". De início, já percebemos que é possível atribuir um valor lógico a essa expressão. A igualdade acima não será satisfeita para qualquer valor de 𝑥 e, por esse motivo, é falsa.
         • Todo homem é careca. Substituímos "aquele" na expressão original pelo quantificador universal "todo". Veja que se trata de uma proposição quantificada e que facilmente conseguimos julgá-la como verdadeira ou falsa.
       • Quantificador Existencial - ∃
         • O quantificador existencial é representado pelo símbolo ∃ ("existe", "algum", "pelo menos um").
         • o ∃𝒙 ∶ 𝑥 + 10 = 50 Lemos essa expressão como "existe 𝒙 tal que 𝑥 mais dez é igual a cinquenta.". Observe que, de fato, existe 𝑥 tal que a equação é satisfeita (𝑥 = 40). Portanto, ao adicionarmos o quantificador existencial a essa sentença aberta, obtemos uma proposição quantificada de valor lógico verdadeiro.
   • Negação de Proposições Quantificadas
     • • Proposição Universal Afirmativa: É toda proposição iniciada por um quantificador universal e cujo predicado é uma afirmação. o Todo marinheiro é pescador. o Qualquer mulher é batalhadora. • Proposição Universal Negativa: É toda proposição iniciada por um quantificador universal e cujo predicado é uma negação. Além desse caso, podemos identificar como proposições universais negativas todas aquelas que utilizam o quantificador "nenhum". o Todo brasileiro não é mentiroso.
       • • Proposição Particular Afirmativa: É toda proposição iniciada por um quantificador existencial e cujo predicado é uma afirmação. o Existe um matemático que é engenheiro. o Algum advogado é médico. • Proposição Particular Negativa: É toda proposição iniciada por um quantificador existencial e cujo predicado é uma negação. o Existe um matemático que não é engenheiro. o Algum advogado não é médico
     • Então, comece a perceber que para negar uma proposição quantificada, precisamos substituir o seu quantificador por outro. Nesse caso, estamos substituindo um quantificador universal por um quantificador existencial. Além de realizar essa troca, estamos negando sempre o predicado da oração.
       • Para negar o fato de que "todo brasileiro gosta de futebol" devemos falar que "pelo menos um brasileiro não gosta de futebol". Afinal, só basta um brasileiro não gostar de futebol para que a sentença "todo brasileiro gosta de futebol" não seja verdade. Veja que: r: Qualquer pessoa consegue passar. ¬r: Alguma pessoa não consegue passar.
         • E se for necessário negar uma proposição universal negativa, como fazemos? Realizamos exatamente a mesma coisa! Vamos trocar o tipo de quantificador e negar o predicado da sentença. Acompanhe alguns exemplos: p: Todo brasileiro não gosta de música clássica. ~p: Existe um brasileiro que gosta de música clássica.
           • q: Nenhum investidor quer perder dinheiro. ~q: Pelo menos um investidor quer perder dinheiro. Observe que quando temos o quantificador universal "nenhum", não precisamos negar o predicado. Isso acontece pois quando falamos "nenhum", na verdade já temos uma negação subentendida.
           • Para negar as proposições existenciais, devemos fazer a substituição por quantificadores universais. Não podemos esquecer de também fazer a negação do predicado. r: Pelo menos uma pessoa participou do congresso. ¬r: Nenhuma pessoa participou do congresso.
   • Proposições Categóricas
     • é um tipo especial de proposição quantificada.
       • Essas proposições vão estabelecer uma relação entre termos de categorias distintas.
     • Quando dizemos, por exemplo, que todo cachorro é obediente, estou estabelecendo uma relação de inclusão entre a categoria dos cachorros e a categoria dos obedientes. Trata-se, portanto, de uma proposição categórica.
     • Por serem proposições quantificadas, elas podem ser classificadas nos tipos vistos nessa aula: "proposição universal afirmativa", "proposição universal negativa", "proposição particular positiva" e "proposição particular negativa". No entanto, essa mesma classificação ganha uma nomenclatura nova no contexto das proposições categóricas. Acompanhe:
       • • Proposição Universal Afirmativa - Forma A Todo engenheiro é responsável. • Proposição Universal Negativa - Forma E Nenhum engenheiro é responsável / Todo engenheiro não é responsável. • Proposição Particular Afirmativa - Forma I Algum engenheiro é responsável. • Proposição Particular Negativa - Forma O Algum engenheiro não é responsável.
         • As letras que utilizamos para nomear os tipos de proposições categóricas vêm das duas primeiras vogais das palavras, em latim, affirmo e nego. Portanto, A e I se referem às proposições afirmativas enquanto E e O às proposições negativas.
       • Um ponto muito importante que devemos entender é a diferença de duas propriedades das proposições categóricas, a qualidade e a quantidade. Quando falamos que uma proposição é universal ou particular, estamos no referindo a propriedade "quantidade". Por outro lado, quando falando que uma proposição é afirmativa ou negativa, estamos no referindo a "qualidade" da proposição.
     • Sintetizando, em relação à quantidade, uma proposição pode ser universal ou particular e em relação à qualidade, pode ser afirmativa ou negativa. Por que saber dessas coisas é importante? Para conseguir entender melhor como classificamos as proposições categóricas em mais quatro tipos:
       • • Proposições contrárias: São proposições universais que possuem qualidades distintas, isto é, todo par afirmativo-negativo de proposições universais. Todo marinheiro é pescador. [Forma A] Todo marinheiro não é pescador. [Forma E] Perceba que sempre as proposições categóricas de forma A e E serão contrárias.
       • • Proposições subcontrárias: São proposições particulares que possuem qualidades distintas, isto é, todo par afirmativo-negativo de proposições particulares. Algum empresário é rico. [Forma I] Algum empresário não é rico. [Forma O] Note, dessa vez, que as proposições categóricas de forma I e O serão sempre subcontrárias.
       • • Proposições subalternas: São proposições que, apesar de possuírem a mesma qualidade, diferem pela quantidade. A: Todo estudante é preparado. I: Algum estudante é preparado. E: Nenhum cachorro é feio O: Algum cachorro não é feio. Todas as proposições categóricas de forma A e I são subalternas entre si, bem como as proposições de forma E e O.
       • • Proposições contraditórias: São proposições que diferem, simultaneamente, em qualidade e quantidade. A: Todo animal é dócil. O: Algum animal não é dócil. E: Nenhum jogador é amigável. I: Algum jogador é amigável.

3. Diagramas Lógicos

   • Usamos esse tipo de diagrama para representar visualmente as proposições categóricas.
     • • Todo engenheiro é responsável. Veja que podemos representar os engenheiros como um círculo menor, que está dentro de outro círculo maior, o círculo dos responsáveis. Formalmente, dizemos que os engenheiros são um subconjunto dos responsáveis. O que eu gostaria que você prestasse atenção, é que quando falamos que "todo engenheiro é responsável", NÃO é o mesmo que dizer que "todo responsável é engenheiro"
     • • Nenhum engenheiro é responsável. Nesse caso, representamos os dois conjuntos totalmente separados entre si. Dessa forma, estamos mostrando que não há intersecção entre eles e que, portanto, não existe nenhum elemento de um que seja também elemento do outro. Quando existe um grupo de conjuntos que não possuem intersecção entre si, dizemos que esses conjuntos são disjuntos.
     • • Algum engenheiro é responsável Quando temos uma proposição categórica de forma I, devemos representar esse tipo de proposição com um diagrama que mostre a intersecção entre os dois conjuntos. É exatamente essa intersecção que indicará que existe algum engenheiro que também é responsável, sendo ele, então, um elemento comum dos dois conjuntos.
     • • Algum engenheiro não é responsável É uma situação praticamente análoga a anterior. No entanto, a parte do diagrama que estaremos interessados será o conjunto dos engenheiros que não é responsável. Ou seja, a parte do conjunto que está fora da intersecção.
   • Validade de Argumentos
     • também utilizar diagramas lógicos para demonstrar a validade ou não de determinados argumentos. Muitas vezes, os argumentos trazem uma conclusão que não é necessariamente verdadeira. Esse tipo de situação pode ser identificado de imediato com o uso de diagramas.
       • (PC-ES/2019) Assinale a alternativa que apresenta um argumento lógico válido. a) Todos os mamutes estão extintos e não há elefantes extintos, logo nenhum elefante é um mamute. b) Todas as meninas jogam vôlei e Jonas não é uma menina, então Jonas não joga vôlei. c) Em São Paulo, moram muitos retirantes e João é um retirante, logo João mora em São Paulo. d) Não existem policiais corruptos e Paulo não é corrupto, então Paulo é policial. e) Todo bolo é de chocolate e Maria fez um bolo, logo Maria não fez um bolo de chocolate.