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Description
Mind Map by alvaro hernando rojas palomino, updated more than 1 year ago
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Created by alvaro hernando rojas palomino
over 7 years ago
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MAPA CONCEPTUAL
- En análisis matemático, usualmente, el logaritmo de un número real positivo —en una base de
logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.
Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103
= 10×10×10.
- PROPIEDADES GENERALES
- Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes
que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1
es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1. Si el número real a se encuentra
dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo
negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno
serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞).
También usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo
0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)=
-logb(a-1). Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera
que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuenci
- Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes
que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1
es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1. Si el número real a se encuentra
dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo
negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno
serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞).
También usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo
0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)=
-logb(a-1). Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera
que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuenci
- FUNCION LOGARITMICA
- Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la
ecuación exponencial {\displaystyle b^{x}=y\,} b^x = y \, existe una única
solución x , asumiendo que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1.
Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio
del cálculo elemental.4 Este teorema establece que una función continua que
produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre
entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico
puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel. Esta propiedad se puede
demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f toma
arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos,
cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado
x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación
f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta
ecuación
- Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la
ecuación exponencial {\displaystyle b^{x}=y\,} b^x = y \, existe una única
solución x , asumiendo que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1.
Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio
del cálculo elemental.4 Este teorema establece que una función continua que
produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre
entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico
puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel. Esta propiedad se puede
demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f toma
arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos,
cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado
x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación
f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta
ecuación
- FUNCION INVERSA
- La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que
para cualquier número x, {\displaystyle \log
_{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}(b)=x.} \log_b \left (b^x \right) = x
\log_b(b) = x. En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y
luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario,
dado un número positivo y, la fórmula {\displaystyle b^{\log
_{b}(y)}=y} b^{\log_b(y)} = y dice que tomando primero el logaritmo
y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos
maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y
exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el
logaritmo en base b es la función inversa de f(x) = bx.6 Las
funciones inversas están íntimamente relacionadas con las
funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el
otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por
reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura
de la derecha: un punto (t, u = bt) sobre el
- La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que
para cualquier número x, {\displaystyle \log
_{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}(b)=x.} \log_b \left (b^x \right) = x
\log_b(b) = x. En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y
luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario,
dado un número positivo y, la fórmula {\displaystyle b^{\log
_{b}(y)}=y} b^{\log_b(y)} = y dice que tomando primero el logaritmo
y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos
maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y
exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el
logaritmo en base b es la función inversa de f(x) = bx.6 Las
funciones inversas están íntimamente relacionadas con las
funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el
otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por
reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura
de la derecha: un punto (t, u = bt) sobre el
- PROPIEDADES GENERALES
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