SISTEMAS NUMÉRICOS Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS

CAPÍTULO 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
1. Técnicas de contar
  1. Comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las colecciones de objetos (cardinal de la colección).
  2. Indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección ordenada de objetos (ordinal del objeto).
  3. CONTAR
    1. Poner en correspondencia uno a uno los distintos elementos de un conjunto (contado) con un subconjunto de otro conjunto (contador, sistema numérico de referencia o sistema numeral).
    2. Los elementos del conjunto numérico pueden ser objetos físicos, palabras, símbolos, etc.
2. Sistema Numeral
  1. Número Natural
    1. Son cualquier sistema de "objetos" (símbolos, marcas, materiales, palabras), perceptibles o pensados, que se usan para informar del cardinal de los conjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro del conjunto.
      1. Número ordinal: Se pueden usar para ordenar un conjunto
      2. Número cardinal: Número atribuido al último elemento que se cuenta.
    2. El conjunto de objetos numéricos debe estar "naturalmente estructurado"
3. Principios que subyacen en las técnicas de contar
  1. Principio del orden estable: Las palabras numéricas uno, dos, tres, ... deben recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.
  2. Principio de la correspondencia uno a uno: A cada elemento del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una.
  3. Principio de irrelevancia del orden: El orden en que se cuentan los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto.
  4. Principio cardinal: La palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también el cardinal del conjunto.
4. Tipos de sistemas de numeración
  1. Aditivo regular
    1. Se definen símbolos para la unidad, la base y las potencias de la base. El número representado se obtiene sumando los valores de los signos que componen su representación. El sistema egipcio es un ejemplo de sistema aditivo regular de base 10.
  2. Multiplicativo regular
    1. Se definen símbolos para la unidad, base, potencias de la base y todos los números comprendidos entre la unidad y la base. El número representado se obtiene multiplicando cada potencia de la base por el valor del símbolo que le precede y sumando los resultados junto con las unidades. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema chino de numeración que es un sistema multiplicativo regular de base 10.
  3. Sistema posicional regular
    1. Se definen símbolos para la unidad y los números comprendidos entre la unidad y la base. También se define un símbolo, el cero, para indicar la no existencia de unidades. No se definen símbolos específicos para la base ni para las potencias de la base, representándose éstas por medio de combinaciones de los símbolos de la unidad y del cero.
5. Sistemas de numeración escritos
  1. Sistema jeroglífico egipcio
    1. Se basa en la definición de símbolos para la unidad, diez y las potencias de diez.
  2. Sistema chino
    1. Se tienen símbolos para la unidad, diez y las potencias de diez sino para todos los números intermedios entre uno y diez
  3. Sistema de numeración escrito
    1. Es un sistema posicional regular de base 10. Los símbolos que se definen son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
  4. Sistema de numeración oral
    1. Sistema multiplicativo porque define símbolos no sólo para los números anteriores a la base sino también para la base y sus potencias. El número 3400 no lo leemos como "tres cuatro cero cero" sino como "tres mil cuatrocientos", es decir, hacemos referencia a las potencias de la base "mil" y "cien" o "ciento".
6. SUBITACIÓN
  1. Capacidad innata para reconocer ciertos cardinales de conjuntos sin necesidad de efectuar un recuento
7. ORIENTACIONES CURRICULARES
  1. El número natural surge como respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿qué lugar ocupa este elemento dentro de un conjunto ordenado? Se construye, por tanto, alrededor de su significado como cardinal y ordinal y para ello es necesario contar.
  2. Estados de conocimiento de los niños sobre el significado del número
    1. Percepción temprana de cardinales
    2. Percepción prioritaria de ordinales
    3. Percepción prioritaria de cardinales.
CAPÍTULO 2: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
1. Sustracción de números naturales
  1. La substracción no es una operación en el conjunto de números naturales, pero si en el de los números enteros (que incluye los números negativos).
2. Adición de números naturales
  1. La suma es una operación en el conjunto de los números naturales.
  2. Las variables que intervienen en las situaciones aditivas son las siguientes:
    1. Sentido del término medio: Puede indicar un aumento o una disminución del término inicial (si se trata de una transformación) o puede indicar que el término inicial es mayor igual o menor que el término final (si es una comparación).
    2. Posición de la incógnita: la incógnita puede ser el total o una de sus partes (en las situaciones parte-todo) o bien, el término inicial, medio o final (en las demás situaciones).
    3. Papel de los números en la situación: pueden ser estados, transformaciones o comparaciones.
    4. Significado de los números: que pueden ser cardinales, ordinales o medidas.
3. Las operaciones aritméticas de suma y resta se construyen inicialmente como un medio de evitar los recuentos o procesos de medida en situaciones parcialmente cuantificadas.
4. Las situaciones que dan sentido a la suma y a la resta de números naturales (situaciones aditivas de una sola operación) se clasifican atendiendo al papel que juegan los números que intervienen en ella, que es variable y puede ser:
  1. ESTADO: Cuando los números del problema son el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud.
  2. TRANSFORMACIÓN: Cuando un número expresa la variación que ha sufrido un estado
  3. COMPARACIÓN: Cuando el número indica la diferencia que existe entre dos estados que se comparan entre sí.
5. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE SUMAS Y RESTAS
  1. Buscar los dobles. Preguntan "seis más siete" y pensamos "seis más seis, doce, más uno, trece" o "siete y siete, catorce, menos uno, trece".
  2. Completar a diez o cinco. Preguntan "ocho y seis" y pensamos "ocho y dos, diez, y cuatro, catorce";
  3. Sumar en vez de restar. Preguntan "trece menos seis" y pensamos "seis y siete, trece, siete" .
CAPÍTULO 3: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ENTERA
1. Las situaciones que dan sentido a la multiplicación y división, se puede clasificar atendiendo al papel que juegan los números que intervienen en ellas que pueden ser:
  1. ESTADO: Cuando expresan el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud
  2. RAZÓN: Cuando expresan un cociente entre cantidades de magnitudes diferentes
  3. COMPARACIÓN: Cuando indican el número de veces que una cantidad de magnitud está contenida en otra cantidad de la misma magnitud.
2. Se puede construir la multiplicación y la división entera a partir de:
  1. Definición de los hechos numéricos básicos (tabla de multiplicar)
  2. Establecimiento de las propiedades de dichas operaciones.
  3. Invención de técnicas de cálculo eficaces (orales y escritas.
  4. Discriminación de las situaciones en las que el uso de dichas operaciones es pertinente.
CAPÍTULO 4: FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS
1. Situaciones de reparto
  1. PARTICIÓN DE UN TODO Se trata de situaciones en las que un todo constituido por uno o más objetos se divide en partes iguales y se toman o consideran algunas de esas partes.
  2. REPARTO EQUITATIVO Los objetos pueden ser divididos en partes sin que pierdan sus propiedades básicas En este caso la existencia de un resto obliga a dividir en partes iguales la unidad de reparto para poder seguir repartiendo el resto de forma igualitaria
  3. REPARTO PROPORCIONA La relación entre las cantidades repartidas puede ser de tipo aditivo o de tipo multiplicativo según que lo que se mantenga constante sea la diferencia entre las cantidades a repartir o el cociente.
2. Razón
  1. Las razones se pueden expresar mediante símbolos diferentes de fracciones: 4: 7, o 4- 7; el símbolo de la fecha indica bien el aspecto de correspondencia de una razón, como medio de comparar cantidades.
3. Número racional
  1. El conjunto de las fracciones queda dividido en “clases de equivalencia”, cada una de ellas formada por todas las fracciones equivalentes entre sí. Cada una de las clases se dice que es un número racional.
    1. Técnica de simplificación de fracciones
      1. Permite pasar de una fracción a la fracción irreducible, equivalente a ella y que consiste en dividir numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos números.
    2. Técnica de regla de tres
      1. Permite encontrar uno de los términos de una proporción conocidos los otros tres.
      2. Si el término desconocido es un extremo se obtendrá multiplicando los términos medios de la proporción y dividiendo el resultado por el otro extremo. Si el término desconocido es uno de los términos medios de la proporción se obtendrá multiplicando los extremos y dividiendo el resultado por el término medio conocido.
CAPÍTULO 5: NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES
1. Fracción decimal
  1. Una fracción es decimal si su denominador es una potencia de 10.
    1. La parte situada a la izquierda de la coma es la ‘parte entera’ del número decimal y la situada a la derecha de la coma la ‘parte decimal’. (3.14)
    2. Son tres formas de escribir y de hablar sobre un número decimal particular.
      1. La expresión 0’75 designa un número decimal, que también se puede escribir en forma de fracción, 75/100, la cual a su vez es equivalente a la fracción irreducible ¾.
2. Las fracciones y los decimales son dos formas diferentes para representar las mismas ideas, o si se prefiere para describir y manipular el mismo tipo de situaciones.
  1. Uno de los fines principales de la enseñanza de las fracciones y decimales será que los estudiantes vean ambos sistemas notacionales como modos de representar los mismos conceptos, aunque ciertamente con ventajas distintas según las situaciones.
3. Número decimal
  1. Son aquellos racionales que tienen una fracción representante con denominador potencia de 10 (fracciones decimales).
    1. La “expresión decimal” aparece como un medio cómodo de representar medidas complejas.
  2. Número racional
    1. Todo número racional tiene una representación decimal finita o periódica; todos los números cuya expresión decimal es finita o periódica son números racionales.
      1. Número irracional
        Son aquellos cuya representación decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Por tanto un número irracional surge como resultado de continuar potencialmente una sucesión acotada de números decimales.
CAPÍTULO 6: NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
1. Problema aritmético
  1. El método aritmético consiste en analizar el contexto para determinar una primera operación entre dos datos que da como resultado otro dato, anteriormente desconocido, que nos acerca a las incógnitas buscadas.
    1. Se caracteriza porque tanto los datos como las incógnitas son números y las relaciones entre unos y otras pueden expresarse en términos de operaciones aritméticas.
      1. Valencias y usos de los signos + y –
        En el ámbito algebraico, mantienen su sentido como indicadores de operaciones binarias, aunque ya no entre números, sino entre números con signo.
        Ley de los signos
        (+) (+) = + (-)(-)= +
        (-)(+) = - (+)(-) = -
        La interpretación de los números con signo como puntos de la recta permite interpretar el orden entre ellos desde un punto de vista espacial.
      2. Situaciones
        En la Educación Primaria apenas hay alguna referencia a estos números.
        Se trata sobre todo de desarrollar aquellas actividades aritméticas con números naturales o fraccionarios que posteriormente puedan facilitar la introducción de los números con signo.

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