Teoria Preliminar: Ecuaciones Diferenciales deOrden Superior

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Teoria Preliminar: Ecuaciones Diferenciales deOrden Superior
1 Problema de valores en la Frontera (PVF)
1.1 Esta sujeto a las condiciones de frontera.
1.2 Puede tener una, ninguna o varias soluciones.
2 Problema de Valor Inicial (PVI)
2.1 Teorema 3.1 Existe una unica solucion a un problema de valor inicial.
3 Ecuaciones Homogéneas (Igualadas a cero)
3.1 Teorema 3.2 Principio de Superposición: si un conjunto de funciones es solucion del sistema homogéneo, entonces su combinación lineal también lo es.
3.1.1 Dependencia e Independencia lineal: Un conjunto de funciones es dependiente si existen constantes no todas cero tal que su combinación lineal sea igual a cero, de lo contrario son independientes.
3.2 Operadores Diferenciales
3.2.1 En cálculo la diferenciación se denota con "D".
3.2.2 Y definimos con "L" un operador diferencial de n-ésimo orden. En este caso L es un operador lineal.
3.3 Wronskiano: Es el determinante de una matriz de n funciones donde cada fila es la derivada de la fila anterior hasta n -1 derivadas.
3.3.1 Teorema 3.3 Criterio para soluciones linealmente independientes: El conjunto de soluciones de una ecuacion homogenea es linealmente independiente si y solo si el Wronskiano es distinto de cero para toda "x" en el intervalo.
3.3.1.1 Si conjunto de soluciones es linealmente independiente entonces se dice que es un conjunto fundamental de soluciones.
3.3.1.1.1 Teorema 3.4 Existe un conjunto fundamental para la ecuación diferencial lineal homogénea.
3.3.1.1.2 Teorema 3.5 Solución General de una ecuación homogénea: Esta es la combinación lineal del conjunto fundamental de soluciones.
4 Ecuaciones No Homogéneas (Igualadas a una funcion g(x))
4.1 Solución Particular o Integral Particular: Es toda función libre de parámetros arbitrarios que satisfaga la ecuación no homogénea.
4.1.1 Teorema 3.6 Solución General de Ecuaciones No homogéneas. Es la solución general de la ED homogénea asociada más una solucion particular de la ED no homogénea.
4.1.1.1 Función Complementaria: Es la solución general de la ED homogénea asociada.
4.1.1.1.1 Entonces la solucion general de una ED no homogénea es = función complementaria + cualquier solucion partiicular.
4.1.2 Teorema 3.7 Principio de Superposición. Si un conjunto de funciones son soluciones particulares de la ED no homogénea entonces su combinación lineal también es una solución particular de la misma.

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