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Description
Mind Map by Daniel Alc, updated more than 1 year ago
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Created by Daniel Alc
almost 7 years ago
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CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
- Ecuaciones Diferenciales
- Una ecuacion que establece una relacion entre la variable independiente x, la función buscada y= y(x) y sus derivadas y, y, y, ..., y) se llama ecuación diferencial.
- Llamamos integrar la ecuación diferencial al proceso por el que se encuentra, a partir de la ecuación
diferencial dada, la relación directa entre x e y.
- Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contiene las derivadas de una o
más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
- Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona una función (o variable
dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación
contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación
diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables
independientes se llama ecuación en derivadas parciales
- Una ecuacion que establece una relacion entre la variable independiente x, la función buscada y= y(x) y sus derivadas y, y, y, ..., y) se llama ecuación diferencial.
- Clasificacion
- Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad: Según su tipo
distinguimos entre: • Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto
de dos o más variables independientes.
- Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la
ecuación.
- Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y sus
derivadas.
- • Ecuaciones diferenciales ordinarias: Estas ecuaciones contienen únicamente derivadas ordinarias
respecto a una sola variable independiente. Si una ecuación diferencial contiene únicamente
derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente.
- • Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o más variables
independientes. Una ecuación en la que se presentan las derivadas parciales de una o más variables
dependientes de dos o más variables independientes.
- • Ecuaciones diferenciales de retraso (oretardo): Estan caracterizadas por la presencia de un
desplazamiento t − t0 en el argumento de la función incógnita u(t). En general, son más difíciles
de manejar que las E. D. sin retraso. No nos ocuparemos aquí de ellas.
- • Ecuaciones diferenciales de retraso (oretardo): Estan caracterizadas por la presencia de un
desplazamiento t − t0 en el argumento de la función incógnita u(t). En general, son más difíciles
de manejar que las E. D. sin retraso. No nos ocuparemos aquí de ellas.
- • Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o más variables
independientes. Una ecuación en la que se presentan las derivadas parciales de una o más variables
dependientes de dos o más variables independientes.
- Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la
ecuación.
- Ecuaciones Lineales
- Se dice que una ecuación diferencial y = f(x, y, y0, · · · , yn−1) es lineal cuando f es una función lineal
de y, y`, ..., yn−1). Puede adquirir la forma que se menciona abajo:
- Se puede escribir: an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + · · · + a1(x)y0 + a0(x)y = g(x)
- Se trata de una ecuación diferencial de grado 1 en y y en todas sus derivadas.
- Cada coeficiente solo depende de x.
- Se puede escribir: an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + · · · + a1(x)y0 + a0(x)y = g(x)
- Soluciones
- Se llama solución (o integral) de la ecuación diferencial a cualquier función y = y(x) que introducida
en la ecuación diferencial la transforma en igualdad. Una ecuación diferencial puede tener una
cantidad infinita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los
parámetros. Se dice que la familia n-paramétrica G(x, y,C1,C2, · · · ,Cn) = 0 es la solución general de
una ecuación diferencial de orden n si toda solución de esa ecuación se puede obtener partiendo
de esa familia. Cada vez que se asignan valores a los parámetros se tiene una solución particular.
- Explicitas: La variable dependiente y se expresa tan solo en términos de la variable
independiente x y constantes.
- Implícitas: Se trata de una relación G(x, y) = 0 en la que no se puede despejar y mediante funciones
elementales. Son soluciones todas las y(x) que cumplen G(x, y) = 0.
- Explicitas: La variable dependiente y se expresa tan solo en términos de la variable
independiente x y constantes.
- Se llama solución (o integral) de la ecuación diferencial a cualquier función y = y(x) que introducida
en la ecuación diferencial la transforma en igualdad. Una ecuación diferencial puede tener una
cantidad infinita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los
parámetros. Se dice que la familia n-paramétrica G(x, y,C1,C2, · · · ,Cn) = 0 es la solución general de
una ecuación diferencial de orden n si toda solución de esa ecuación se puede obtener partiendo
de esa familia. Cada vez que se asignan valores a los parámetros se tiene una solución particular.
- Se dice que una ecuación diferencial y = f(x, y, y0, · · · , yn−1) es lineal cuando f es una función lineal
de y, y`, ..., yn−1). Puede adquirir la forma que se menciona abajo:
- CLASIFICACIÓN POR ORDEN.
- EDO de segundo orden
- El orden de una EDO o una EDP representa el orden de la derivada más alta presente en la ecuación.
- EDO de primer orden
- Por ejemplo, la EDO de primer orden 4xy'+ y = x puede escribirse también como:
- y, multiplicando ambos miembros de la
última ecuación por dx obtenemos
como se muestra abajo, que es la
forma deseada.
- y, multiplicando ambos miembros de la
última ecuación por dx obtenemos
como se muestra abajo, que es la
forma deseada.
- Por ejemplo, la EDO de primer orden 4xy'+ y = x puede escribirse también como:
- EDO de n-êsimo orden
- • Es implícita siendo F una función F: ⊂ R^n+2 −→ R con
un subconjunto (generalmente abierto) de R^n+2.
- Donde F es una función con valores reales de n + 2 variables: x , y , y',,,,,y^(n)
- Donde F es una función con valores reales de n + 2 variables: x , y , y',,,,,y^(n)
- • Es explicita con f:D ⊂ Rn+1 −→ R una funcion definida
en un subconjunto D (generalmente abierto) de Rn+1.
- con f:D ⊂ Rn+1 −→ R una función definida en un subconjunto D (generalmente abierto) de
Rn+1.
- con f:D ⊂ Rn+1 −→ R una función definida en un subconjunto D (generalmente abierto) de
Rn+1.
- • Es implícita siendo F una función F: ⊂ R^n+2 −→ R con
un subconjunto (generalmente abierto) de R^n+2.
- EDO de segundo orden
- Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad: Según su tipo
distinguimos entre: • Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto
de dos o más variables independientes.
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