Trojuholník

Trojuholník   vrcholy trojuholníka: A, B, C strany trojuholníka:    a, b, c                                    |AB| = c; |BC| = a; |AC| = b uhly trojuholníka:       a, b, g                                    |<ABC| = b ; |<ACB| = g; |<BAC| = a     Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180° (α + β + γ = 180°)   Vonkajšie uhly trojuholníka sú susednými uhlami vnútorných uhlov. Každý trojuholník má 6 vonkajších uhlov. Vonkajší a vnútorný uhol pri tom istom vrchole vytvárajú spolu priamy uhol (ich súčet je 180°).   Trojuholníková nerovnosť: (umožňuje zistiť, či sa dá trojuholník zostrojiť)             a + b > c                     alebo:              nech a > b > c             a + c > b                                             potom stačí overiť:             b + c > a                                                         b – c < a < b + c  

Delenie trojuholníkov: podľa veľkosti strán rovnostranný – má všetky tri strany rovnaké  a = b = c                         rovnostranný trojuholník používame pri konštrukcii šesťuholníka rovnoramenný – dva strany rovnaké – ramená, tretia rôzna -  základňa b = c                         rovnoramenný trojuholník využívame pri konštrukcii osemuholníka rôznostranný – všetky strany rôzne (musí platiť trojuholníková nerovnosť)   podľa veľkosti uhlov ostrouhlý – má všetky tri uhly ostré (menšie ako 90°) pravouhlý – jeden uhol pravý (90°, najčastejšie pri vrchole C) a dva uhly ostré tupouhlý – má jeden uhol tupý (väčší ako 90° a menší ako 180°) a dva ostré

Zhodnosť trojuholníkov Dva trojuholníky sa nazývajú zhodné trojuholníky, ak majú všetky tri strany aj uhly zhodné. Dva trojuholníky ABC a A´B´C´ sú zhodné, ak platí:                                 AB = A´B´; BC = B´C´; CA = C´A´; γ = γ´;  α = α´; β = β´   Dva trojuholníky sú zhodné, ak platí niektorá z nasledujúcich viet o zhodnosti trojuholníka: veta SSS – ak sa trojuholníky zhodujú vo všetkých stranách, veta SUS – ak sa trojuholníky zhodujú vo dvoch stranách a uhle nimi zovretom, veta USU – ak sa trojuholníky zhodujú v jednej strane a v dvoch uhlov priľahlých tejto strane

Kružnica a trojuholník Kružnica opísaná trojuholníku Kružnica opísaná trojuholníku je taká kružnica, ktorej stred S je priesečníkom osí jednotlivých strán trojuholníka. Polomer kružnice r je vzdialenosť stredu kružnice (priesečníka osí strán) od ľubovoľného vrcholu trojuholníka.   Poznámka: Stred kružnice opísanej ostrouhlému trojuholníku sa nachádza vo vnútri trojuholníka. Stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku sa nachádza v strede prepony trojuholníka. Stred kružnice opísanej tupouhlému trojuholníku sa nachádza mimo trojuholníka.   Kružnica vpísaná do trojuholníku Kružnica vpísaná do trojuholníka je taká kružnica, ktorej stred O je priesečníkov osí vnútorných uhlov trojuholníka. Polomer kružnice r je dĺžka kolmice zostrojenej zo stredu kružnice (priesečníka osí vnútorných uhlov) na ľubovoľnú stranu trojuholníka.  

Významné prvky trojuholníka Výška trojuholníka Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka. Výšky trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý nazývame priesečník výšok alebo ortocentrum (označujeme ho V). va …………… výška na stranu a vb …………… výška na stranu b vc …………… výška na stranu c V …………… ortocentrum Poznámka: V ostrouhlom trojuholníku leží ortocentrum leží vo vnútri trojuholníka. V pravouhlom trojuholníku je ortocentrum v bode, pri ktorom leží pravý uhol. V tupouhlom trojuholníku sa nachádza ortocentrum mimo trojuholníka.   Ťažnica trojuholníka Úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany, sa nazýva ťažnica trojuholníka. Ťažnice trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý nazývame ťažisko trojuholníka (označujeme ho T). Vzdialenosť ťažiska od stredu strany, ku ktorej je ťažnica zostrojená, sa rovná jednej tretine dĺžky ťažnice. ta …………… ťažnica na stranu a tb …………… ťažnica na stranu b tc …………… ťažnica na stranu c T …………… ťažisko   Stredná priečka trojuholníka Stredná priečka trojuholníka je úsečka, ktorá spája vždy 2 stredy strán.  Je rovnobežná s treťou stranou trojuholníka. Dĺžka strednej  priečky sa rovná jednej polovici strane, s ktorou je rovnobežná.   p1, p2, p3 …………… stredné priečky