Aplicaciones de las derivadas

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1. Monotonía de una función

1.1. Función estrictamente creciente

Si f' (Xo) > 0, la función f (x) es estrictamente creciente en el punto de abscisa Xo.

Una función es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) si lo es en todos y cada uno de sus puntos.

1.2. Función estrictamente decreciente

Si f' (Xo) f (x) es estrictamente decreciente en el punto de abscisa Xo.

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b) si lo es en todos y cada uno de sus puntos.

1.3. Determinación de los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función

1.- Hallamos la función derivada f' (x).

2.- Resolvemos las inecuaciones f'(x) > y f'(x)

3.- Determinamos los intervalos de crecimiento en los que f' (x) > 0 y los de decrecimiento en los que f' (x) > 0.

2. Extremos relativos de una función

1.- Hallamos la función derivada f ' (x)

2.- Resolvemos la ecuación: f ' (x) = 0 y obtenemos los puntos críticos

3.- Hallamos la derivada segunda f '' (x)

4.- Sustituimos en f '' (x) los puntos críticos.

Si f '' es positiva la función tendrá mínimo relativo

Si f '' sea negativa la función tendrá un máximo.

5.- Una vez que tenemos los valores de x en los cuales hay extremos relativos, hallamos los correspondientes valores de y.

3. Optimización de funciones

1.- Escribir la función que deseamos optimizar.

2.- Si la función tiene más de una variable, relacionar las variables con los datos del enunciado para conseguir una función de una

variable.

3.- Obtener los máximos y mínimos de la función.

4.- Comprobar que los resultados obtenidos tienen sentido y se adecuan a las condiciones del enunciado.

4. Concavidad. Curvatura de una función.

1.- Hallar la derivada f ' (x)

2.- Resolver las incecuaciones f ' (x) > 0 y f ' (x) > 0

3.- Hallar la segunda derivada f '' (x)

4.- Si f'' (x) Si f'' (x) > o, la función será cóncava en ese punto.

5. Puntos de inflexión

El punto de inflexión de una función es el punto en el cual la función cambia la concavidad.

1.- Hallamos la segunda derivada f '' (x)

2.- Resolvemos f '' (x) = 0

3.- Hallamos la tercera derivada f ''' (x)

4.- Sustituimos en f ''' (x) los resultados obtenidos de f '' (x) = 0. En los casos en que f ''' (x) no se anulen, entonces, para estos valores, existen puntos de inflexión.

6. Representación gráfica de funciones

Para representar gráficamente una función cualquiera dada en forma explícita hemos de estudiar las siguientes características:

Dominio de la función

Simetrías

Puntos de corte con los ejes

Asíntotas y ramas infinitas

Monotonía: crecimiento y decrecimiento

Extremos relativos

Curvatura de la función

Puntos de inflexión

Intervalos de signo constante

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