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APROXIMACIONES POLIGONALES PARA EL DIBUJO DE CURVAS, DIBUJO Y RELLENO DE POLÍGONOS

Para la visualización de superficies: el método descrito previamente para dibujar una curva nos permitirá aproximar una superficie paramétrica por una malla de triángulos.

Representación y visualización

Poseen una representación matemática precisa, bien estudiada y suficientemente flexible.

Curva explicita

En las que aparece de forma explícita una de las variables en función de las otras dos. Estas expresiones tienen alguna de las formas siguientes:

en 3D z = f(x, y) (superficie)

o y = f1(x), z = f2(x) (curva en el espacio)

en 2D y = f(x) (curva en el plano)

Por ejemplo presión en puntos de la superficie de la tierra, o elevación de un camino).

Ecuaciones implícitas

expresadas como una ecuación de las variables igualada a cero

En ellas no aparece ninguna variable despejada, por lo que su evaluación puede ser compleja.

La expresión tendrá una de las formas siguientes:

f(x,y,z) = 0

f(x,y) = 0

Por ejemplo un círculo de radio

se puede expresar como: y2+x2-1_0

poseen la ventaja de ser orientables

A partir de una expresión explícita se puede obtener una implícita. Obviamente, el recíproco no es siempre cierto.

Proceso de diseño

Por tanto, en el proceso de diseño el usuario seleccionará y modificará los puntos de control, hasta que se obtenga la curva o superficie deseada

Dibujo de curvas

debe realizarse repetidas veces, al menos cada vez que el usuario mueve un punto, e idealmente mientras éste mueve los puntos con el dispositivo de entrada (durante el ciclo de realimentación).

El método más simple para visualizar una curva es el basado en la aproximación del segmento por una poligonal.

Para ello basta con evaluar la curva en una secuencia de valores del parámetros, dibujando la poligonal que une los puntos así obtenidos

Visualización de superficies

El método descrito previamente para dibujar una curva nos permitirá aproximar una superficie paramétrica por una malla de triángulos.

Para ello evaluaremos la superficie en un subconjunto de puntos del espacio paramétrico distribuidos en una rejilla.

Otra alternativa es basarse en algoritmos para realizar el test de intersección rayo superficie, lo que permite visualizar la superficie usando trazado de rayos.

Métodos de diseño de curvas

se basan en la utilización de puntos de control a partir de los cuales se define ésta como un promedio de los puntos de control.

Otros métodos de diseño de curvas

Método de caracter local

Cuando la modificación de un punto de control afecta solamente a la forma de la curva, o superficie, en las proximidades del punto de control.

Método de carácter global

La modificación de un punto de control afecta a toda la curva, o superficie.

Es más fácil editar una curva o superficie utilizando un método local, ya que permite ajustar la forma de la curva trozo a trozo.

Grado de Continuidad

Indica el número de veces que se puede derivar su ecuación obteniendo una función continua.

Geométricamente esto está relacionado con la continuidad del elemento

Una curva con continuidad C0 es continua, pero su pendiente no. Si la continuidad es C1 la curva y su pendiente son continuas.

La continuidad depende de la forma en que está parametrizada la curva

Para que la curva sea continua en un punto, sus vectores tangentes a izquierda y derecha deben coincidir.

No obstante, la magnitud del vector tangente no influye en la apreciación que podemos hacer de continuidad en el punto.

Bézier, los splines y los B-Splines.

curvas de Bézier

destacan por su simplicidad de formulación

Los splines

Tienen una utilidad muy limitada en diseño, aunque son una buena opción cuando se quiere un método que interpole los puntos de control.

curvas B-Splines

Este permiten controlar el grado de continuidad

es posible obtener el método de Bézier, como caso particular de B-Spline.

Curvas de Bézier

Fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier, que las usó posteriormente con profusión en el diseño de las diferentes partes de los cuerpos de un automóvil, en sus años de trabajo en la Renault.

B-Splines

Son curvas polinómicas que se construyen conectando polinomios de un determinado grado.

Los polinomios se obtienen por combinación de n puntos de control, utilizando una base defunciones de forma, cuyo orden es independiente del número de puntos de control.

Curvas racionales

pueden interpretarse geométricamente como la proyección de una curva no racional 4D.

Generalizan a las curvas no racionales, incluyéndolas como casos particulares, y permiten representar cuádricas y cónicas.

Diseño de superficies

Una superficie se describe matemáticamente usando dos parámetros, que establecen un sistema de coordenadas sobre ella, permitiéndonos recorrerla.

es posible definir una superficie a partir de una o varias curvas.

se puede definir directamente a partir de una malla de puntos de control, al igual que una curva, con la única diferencia de que los puntos de control forma una distribución bidimensional y que las funciones de forma dependen de dos parámetros, Bij(u,v).

Generación a partir de curvas

Se pueden generar superficies simples a partir de un número reducido de curvas.

Cilíndricas.

Formadas por la traslación de un vector sobre una curva cualquiera. Equivale al barrido por traslación de la curva.

Superficies regladas.

está definida por la unión por interpolación lineal de dos curvas del espacio

Las dos curvas deben de tener el mismo rango de variación del parámetro.

las superficies cilíndricas son un caso particular de superficie reglada.

DIBUJO Y RELLENO DE POLÍGONOS

El polígono es la figura básica dentro de las representaciones y tratamiento de imágenes bidimencionales y su utilización es muy interesante para modelar objetos del mundo real.

Una región del espacio delimitada por un conjunto de líneas (aristas) y cuyo interior puede estar rellenado por un color o patrón dado.

Casos de relleno según su complejidad.

Métodos de relleno de polígonos con color

El caso más sencillo de relleno es el triángulo. Luego sigue el relleno de polígonos convexos de N-lados.

Scan-Line

Inundación

Fuerza Bruta

Patrón

Relleno de polígonos por el método Scan-Line

Fila a fila se trazan líneas de color entre aristas

Por cada scan-line que cruce el polígono se determina la intersección entre la línea de barrido y las aristas del polígono.

Se ordenan las intersecciones por orden creciente de x.

Se agrupan las intersecciones por pares consecutivos.

Polígonos Cóncavos

son aquellas figuras en las que al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180 grados

En un polígono cóncavo al menos una de sus diagonales es exterior al polígono. Los polígonos estrellados son polígonos cóncavos.

Al menos dos vértices que al ser unidos por un segmento, este corta uno o más lados

Los polígonos de tres lados (triángulos)

Son los únicos polígonos que no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados.

Polígono convexo

Es una figura en la que todos los ángulos miden menos de 180 y todas sus son interiores. Cualquier recta que pase por un lado de un polígono convexo deja a todo el polígono completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.

Cualquier recta que pase por un lado de un polígono convexo deja a todo el polígono completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.

En un polígono convexo, todos los vértices "apuntan" hacia el exterior del polígono, todos los triángulos son polígonos convexos, y todos los polígomos regulares

Relleno depolígonos por el método Scan-Line

Fila a fila se trazan líneas de color entre aristas

Por cada scan-line que cruce el polígono se determina la intersección entre la línea de barrido y las aristas del polígono.

Se ordenan las intersecciones por orden creciente de x.

Se agrupan las intersecciones por pares consecutivos.

Relleno de polígonos por el método de inundación

A partir de un punto central, y de forma recursiva, el color se expande hasta alcanzar el borde del objeto.

Empieza en un punto interior y pinta hasta encontrar la frontera del objeto

Partimos de un punto inicial (x,y), un color de relleno y un color de frontera

El algoritmo va testeando los pixeles vecinos a los ya pintados, viendo si son frontera o no.

No sólo sirven para polígonos, sino para cualquier área curva sobre una imagen se usan en los programas de dibujo.

Relleno de polígonos por el método de Fuerza Bruta

Calcula una caja contenedora del objeto.

Hace un barrido interno de la caja para comprobar c/pixel este dentro del polígono.

Con polígonos simétricos basta con que hagamos un solo barrido en una sección y replicar los demás pixeles.

Requiere aritmética punto-flotante, esto lo hace preciso y costoso.

Relleno de polígonos por el método de un patrón

Debemos determinar la situación inicial del patrón respecto a la figura de tal forma que podamos establecer una correspondencia entre los pixeles interiores al polígono y los puntos del patrón.

APROXIMACIONES POLIGONALES PARA EL DIBUJO DE CURVAS