Heterocedasticidad en regresión: capítulo 11, MCO

Capitulo 11

Heteroscedasticidad: ¿Qué pasa si la varianza del error no es constante?

Un supuesto importante del modelo clásico de regresión lineal (supuesto 4) es que las pertur baciones ui que aparecen en la función de regresión poblacional son homoscedásticas; es decir, que todas tienen la misma varianza. En este capítulo examinaremos la validez de este supuesto y también lo que sucede si no se cumple. C

La naturaleza de la heteroscedasticidad

Se introduce el concepto de heteroscedasticidad en el contexto de modelos de regresión. Se discute cómo la heteroscedasticidad viola uno de los supuestos clave del modelo clásico de regresión lineal, que es la homocedasticidad de los errores. La heteroscedasticidad implica que la varianza de los errores no es constante a lo largo de los valores de las variables explicativas, lo que puede afectar la eficiencia de los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) y conducir a inferencias erróneas.

Se menciona un ejemplo concreto relacionado con el estudio de los impactos publicitarios retenidos en relación con el gasto en publicidad, donde se ilustra cómo la presencia de heteroscedasticidad puede alterar los resultados de la regresión. Se destaca la importancia de detectar y corregir la heteroscedasticidad para garantizar la validez de las conclusiones derivadas de un análisis de regresión.

Se plantean preguntas sobre cómo justificar la preferencia por un modelo sobre otro en presencia de heteroscedasticidad, cómo interpretar los resultados de pruebas de heteroscedasticidad como la de Goldfeld-Quandt, y cómo transformar los datos para abordar la heteroscedasticidad en un modelo de regresión

Estimación por MCO en presencia de heteroscedasticidad

Se destaca que la heteroscedasticidad puede afectar la eficiencia de los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), lo que implica que estos estimadores ya no son los más eficientes lineales insesgados (MELI) en presencia de varianzas heteroscedásticas de los errores. Se menciona la importancia de considerar métodos alternativos, como los mínimos cuadrados ponderados, para obtener estimaciones más eficientes en presencia de heteroscedasticidad.

Se plantea la importancia de realizar pruebas de heteroscedasticidad para verificar la validez de los supuestos del modelo de regresión lineal y se mencionan técnicas como la prueba de White y la prueba de Breusch-Pagan para detectar la presencia de heteroscedasticidad en los residuos del modelo.

El método de mínimos cuadrados generalizados (MCG)

Es una técnica para abordar la heteroscedasticidad en modelos de regresión. El MCG consiste en transformar las variables originales de manera que cumplan con los supuestos del modelo clásico de regresión lineal y luego aplicar los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) a estas variables transformadas.

El objetivo del MCG es obtener estimaciones más eficientes en presencia de varianzas heteroscedásticas de los errores, ya que los estimadores de MCO estándar pueden no ser los más eficientes en este contexto. Al aplicar el MCG, se ponderan los errores de manera que las observaciones cercanas a la media poblacional tengan más peso en la estimación que las observaciones más dispersas.

Se menciona que el MCG es una estrategia adecuada para estimar la función de regresión poblacional de manera más confiable, ya que da más peso a las observaciones cercanas a la media poblacional que a las observaciones dispersas. Se señala que el MCG es un caso especial de la técnica de estimación más general, conocida como mínimos cuadrados generalizados (MCG), y que en el contexto de la heteroscedasticidad, los términos MCP y MCG se utilizan indistintamente.

Se discute que si se utilizan pesos iguales para todas las observaciones en el MCG, los estimadores obtenidos serán similares a los estimadores de MCO estándar, lo cual no es sorprendente. Se plantea la importancia de considerar la heteroscedasticidad al seleccionar la técnica de estimación más adecuada para un modelo de regresión.

Consecuencias de utilizar MCO en presencia

de heteroscedasticidad

Como vimos, ˆβ∗2 y ˆβ2 son estimadores (lineales) insesgados: para muestreo repetido, en promedio, ˆβ∗2 y ˆβ2 serán iguales al verdadero β2, es decir, ambos son estimadores insesgados. Pero sabemos que ˆβ∗2 es el eficiente, es decir, tiene la menor varianza. ¿Qué sucede con los intervalos de confianza, las pruebas de hipótesis y con otros procedimientos si continuamos utilizando el estimador de MCO, ˆβ2? Se distinguen dos situaciones

Estimación por MCO con heteroscedasticida

En presencia de heteroscedasticidad, el MCO tiende a sobreestimar los errores estándar de los coeficientes de regresión. Esto puede llevar a intervalos de confianza más amplios de lo necesario y a una interpretación errónea de la significancia estadística de los coeficientes.

Aunque los estimadores de MCO siguen siendo insesgados en presencia de heteroscedasticidad, dejan de ser eficientes, es decir, no minimizan la varianza de las estimaciones. Esto puede resultar en estimaciones menos precisas y en una menor capacidad para detectar relaciones significativas en los datos.

Las pruebas de hipótesis basadas en los estimadores de MCO pueden arrojar resultados imprecisos en presencia de heteroscedasticidad. Esto se debe a que las varianzas de los coeficientes pueden estar mal estimadas, lo que afecta la validez de las pruebas t y F utilizadas para evaluar la significancia de los coeficientes y del modelo en su conjunto.

La presencia de heteroscedasticidad puede llevar a la construcción de intervalos de confianza incorrectos al utilizar los estimadores de MCO estándar. Estos intervalos pueden ser demasiado amplios o demasiado estrechos, lo que afecta la precisión de las estimaciones y la confianza en los resultados del modelo de regresión.

Estimación por MCO sin heteroscedasticidad

En ausencia de heteroscedasticidad, los estimadores de MCO son lineales e insesgados, lo que significa que en promedio estiman correctamente los parámetros del modelo de regresión.

En muestras grandes, los estimadores de MCO en ausencia de heteroscedasticidad siguen siendo consistentes, es decir, convergen en probabilidad al verdadero valor del parámetro. Además, bajo ciertas condiciones, estos estimadores tienen una distribución asintóticamente normal, lo que facilita la realización de inferencias estadísticas válidas.

Detección de la heteroscedasticidad

Se menciona que la heteroscedasticidad se refiere a la variación no constante de los errores del modelo de regresión, lo cual viola uno de los supuestos fundamentales del modelo clásico de regresión lineal.

Se resalta la importancia de detectar la heteroscedasticidad, ya que puede afectar la validez de las pruebas de hipótesis, la precisión de los coeficientes estimados y la interpretación de los resultados del modelo.

Se mencionan métodos formales e informales para detectar la heteroscedasticidad, como el análisis de los residuos del modelo de regresión, pruebas estadísticas específicas para heteroscedasticidad y técnicas gráficas que permiten identificar patrones de variación no constante en los errores. Se reconoce que la detección de la heteroscedasticidad puede ser un desafío en la práctica, especialmente cuando se trabaja con muestras pequeñas o cuando la información sobre la varianza de los errores no está disponible.

Metodos infromales

Gráficos de residuos vs. variables explicativas:

Gráficos de residuos vs. valores ajustados:

Análisis visual de la dispersión de los residuos:

Simplemente observar la dispersión de los residuos del modelo a lo largo de las observaciones puede proporcionar indicios de heteroscedasticidad. Si la dispersión de los residuos varía de manera no constante a lo largo de las observaciones, esto puede ser un signo de heteroscedasticidad.

Otra técnica consiste en graficar los residuos del modelo frente a los valores ajustados por el modelo. Si se identifica un patrón sistemático en la dispersión de los residuos a lo largo de los valores ajustados, esto puede sugerir la presencia de heteroscedasticidad.

Se pueden crear gráficos de dispersión de los residuos del modelo de regresión frente a las variables explicativas. Si se observa un patrón claro de dispersión no constante alrededor de cero a lo largo de los valores de las variables explicativas, esto puede indicar la presencia de heteroscedasticidad.

Metodos Formales

Pruebas de White

Pruebas de Glesjer

Prueba de Park

Esta prueba se basa en regresar los residuos al cuadrado estimados del modelo de regresión sobre las variables explicativas y sus cuadrados. La significancia estadística de los coeficientes en esta regresión puede indicar la presencia de heteroscedasticidad.

Esta prueba se basa en regresar los residuos al cuadrado estimados del modelo de regresión sobre las variables explicativas y sus interacciones. La significancia estadística de los coeficientes en esta regresión puede indicar la presencia de heteroscedasticidad.

Esta prueba consiste en regresar los residuos absolutos estimados del modelo de regresión sobre las variables explicativas. La significancia estadística de los coeficientes en esta regresión puede indicar la presencia de heteroscedasticidad.

Medidas correctivas

Mínimos Cuadrados Ponderados (WLS): En este enfoque, se ponderan las observaciones en función de la varianza de los errores. Al asignar pesos inversamente proporcionales a la varianza de los errores, se puede obtener una estimación más eficiente de los coeficientes del modelo. Los estimadores obtenidos mediante WLS son eficientes en presencia de heteroscedasticidad.

Transformaciones de variables: Otra estrategia consiste en transformar las variables en el modelo de regresión para estabilizar la varianza de los errores. Por ejemplo, aplicar transformaciones logarítmicas a las variables puede ayudar a reducir la heteroscedasticidad.

Métodos de estimación robustos: Utilizar métodos de estimación robustos, como los Mínimos Cuadrados Generalizados (GLS) o los Mínimos Cuadrados Generalizados Iterativamente Ponderados (WGLS), que son menos sensibles a la presencia de heteroscedasticidad y otros problemas de especificación del modelo.

Corrección de errores estándar: Ajustar los errores estándar de los coeficientes estimados para tener en cuenta la heteroscedasticidad. Por ejemplo, se pueden utilizar correcciones como los errores estándar robustos o los errores estándar corregidos de White.

Transformación de los residuos: Aplicar transformaciones a los residuos del modelo para reducir la heteroscedasticidad y mejorar la validez de las inferencias realizadas a partir del modelo.