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PROBABILIDAD

Probabilidad

Análisis combinatorio

Probabilidad condicional e independencia

Vectores Aleatorios

Variables aleatorias

Esperanza, varianza, momentos

Funciones de densidad y de distribución

Distribuciones de probabilidad

La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios.

Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo.

probabilidad de un evento A, es un número real en el intervalo [0, 1] que denotaremos por P(A),

la

representa una medida de la frecuencia con la que se observa la ocurrencia del evento A cuando se efectúa el experimento aleatorio en cuestión

y

Existen al menos cuatro definiciones de probabilidad las cuales explicamos a continuación:

Por otro lado

Probabilidad clasica.

Probabilidad frecuentista.

y

Sea A un subconjunto de un espacio muestral Ω de cardinalidad finita.

que se realizan n repeticiones de un cierto experimento aleatorio y sea A un evento cualquiera.

suponga

el caso cuando el experimento aleatorio es tal que su espacio

muestral es un conjunto finito

se considera

cada elemento de este conjunto tiene la misma

probabilidad de ocurrir

y

cuando el espacio Ω es finito y equiprobable. En

estos casos hemos definido la probabilidad cl ́asica de un evento A de la siguiente forma P(A) = #A/#Ω.

es decir

Para poder aplicar esta definición necesitamos saber contar cuántos elementos tiene un evento A cualquiera.

para

Cuando podemos poner en una lista todos y cada uno de los elementos de dicho conjunto, entonces es fácil conocer la cardinalidad de A,

Sean A y B dos eventos en donde B es tal que su

probabilidad es estrictamente positiva.

La probabilidad condicional del evento A dado el evento B, denotada por P(A|B), se define como sigue:

probabilidad condicional

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

Se dice que dos eventos cualesquiera A y B son

independientes si se cumple la condici ́on P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Independencia de eventos

igualdad es equivalente a la expresi ́on P(A|B) = P(A) cuando P(B) > 0.

esta

ventaja de esta ́ultima expresión es que posee una interpretación sencilla: Dice que la robabilidad del evento A es la misma cuando sabemos que ha ocurrido el evento B (lado izquierdo), que cuando no sabemos nada (lado derecho).

la

un experimento aleatorio cualquiera, una variable aleatoria es una transformación X del espacio de resultados Ω al conjunto de números reales, esto es:

dado

X : Ω → R.

se escribe simplemente v.a. en lugar del t ́ermino variable aleatoria.

a menudo

sentido estricto una variable aleatoria es una función de Ω en R que satisface además cierta condición de medibilidad,

en

omitiremos tales tecnicismos pues no son de utilidad para los propósitos de este curso.

pero

entonces que se efectúa

el experimento aleatorio una vez y se obtiene un resultado ω en Ω. Al transformar este resultado con la variable aleatoria X se obtiene un número real X(ω) = x.

suponga

funciones, llamadas función de densidad y función de distribución, nos permiten representar a un mismo tiempo tanto los valores que puede tomar la variable como las probabilidades de los distintos eventos.

estas funciones

Funcion de probabilidad para una variable discreta. ́ Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2, . . .

ya sea con

probabilidades respectivas

P(X = x1), P(X = x2), . . ..

lista de valores numéricos y sus probabilidades

puede ser finita o bien infinita, pero numerable.

esta

funci ́on de probabilidad de la

variable X denotada por f(x) : R → [0, ∞) se define como sigue

la

de una variable aleatoria X es un número denotado por E(X) y que se calcula como sigue: Si X es discreta, entonces

la

E(X) = X

x

xP(X = x),

la suma se efect ́ua sobre todos los posibles valores que pueda tomar la

variable aleatoria,

en donde

Finalmente definimos el nésimo momento de una variable aleatoria

X, cuando existe, como el número E(Xn),

Momentos.

cualquier valor natural de n. El n-ésimo momento central de X, cuando existe, es el número E[(X −μ) n],

para

distribuciones son modelos particulares para asignar probabilidades a subconjuntos de números reales.

estas

Esta distribución surge en espacios de probabilidad equiprobables, esto es, en

situaciones en donde tenemos n resultados diferentes y todos ellos tienen la misma

probabilidad de ocurrir.

uniforme discreta.

Un ensayo Bernoulli se define como aquel experimento

aleatorio con ́unicamente dos posibles resultados, llamados gen ́ericamente ́exito y

fracaso, con probabilidades respectivas p y 1 − p.

Distribucion Bernoulli.

Supongamos ahora que tenemos una serie de n ensayos independientes Bernoulli en donde la probabilidad de éxito en cualesquiera de estos ensayos es p.

Distribución Binomal

Un vector aleatorio de dimensión dos es un vector de la forma (X, Y ) en donde cada coordenada es una variable aleatoria.

análoga se pueden tener vectores aleatorios multidimensionales (X1, . . . , Xn).

de manera

diremos que un vector aleatorio es discreto, o continuo, si las todas las variables aleatorias que lo conforman lo son.

nuevamente

consideraremos ́unicamente

vectores aleatorios cuyas coordenadas son variables aleatorias todas discretas, o

continuas, pero no mezclas de ellas.

Por simplicidad

aleatorio (X, Y ) puede considerarse

como una función de Ω en R2

un vector

BIBLIOGRAFÍA:

Rincón, L. (2007). PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. México D,F.: UNAM.