Fundamentos de la Lógica Matemática y Cálculo Proposicional

Fundamentos de la Lógica Matemática y Cálculo Proposicional

1. La Proposicion

   • Es un enunciado que constituye una oracion de clasificacion de verdad o falsedad
     • la proposicion de ser demostrable su veracidad, no cataloga las preguntas y valores imaginativos como propociciones
   • Proposiciones Simples o Atomicas
     • “Hoy no es martes”, se puede escribir “~q”
       • Si se tiene la proposición simple: “Miguel Hidalgo es el padre de la Patria”, es posible escoger las variables proposicionales m para hacer alusión a “Miguel Hidalgo” y p para “padre de la Patria”.
     • Supóngase que se quiere negar alguna proposición simple, denotada como “~”; entonces, si se quiere decir que “Hoy no es martes”, se puede escribir “~q”, haciendo referencia a la variable proposicional elegida.
   • Proposiciones Compuestas o moleculares
     • Son dos o mas proposiciones en una misma oración unidas por operadores logicos ^,v entre otros. ejemplo Pitagoras era griego y geometra
       • Miss Universo es atractiva e inteligente. En primera instancia, se puede observar que la proposición en cuestión está constituida por las proposiciones simples: a: Miss Universo es atractiva. i: Miss Universo es inteligente. por lo que a ^ i es su traducción lógica.
     • Al combinar ambas proposiciones se utiliza el operador lógico “^”, que se estudiará más adelante. Dicha proposición compuesta se puede representar como: “p y q”, haciendo referencia a las variables proposicionales utilizadas.
   • las proposiciones se pueden representar como p,q,r,s
   • OPERADOR LOGICO
   • las proposiciones se reprecentan con ñetras p, q, r, s
   • Operadores Logicos
     • Negación (~) La negación de cualquier proposición p será falsa cuando se niegue una proposición verdadera y será verdadera cuando se niegue una proposición falsa.
     • Conjunción (^) Si p y q representan dos proposiciones simples, entonces la proposición compuesta p ^ q, solo será verdadera cuando las dos proposiciones lo sean. p ^ q = q ^ p
     • Disyunción inclusiva ( V )Si p y q representan dos proposiciones simples, entonces la proposición compuesta p V q solo será falsa cuando las dos proposiciones lo sean. Algunas formas de la disyunción inclusiva son: o, o bien, u, entre otras. La disyunción también es conmutativa, es decir: p V q = q V p
     • Disyunción exclusiva (+) Si p y q representan dos proposiciones simples, entonces la proposición compuesta p +q solo será falsa cuando las dos proposiciones tuvieren el mismo valor de verdad. Se denomina disyunción exclusiva porque se tiene que elegir una de cualquiera de las dos disyuntivas, pero no ambas. Algunas formas de la disyunción exclusiva son: o, o bien, u, o… o, entre otras. La disyunción exclusiva es conmutativa, es decir: p + q = q + p
   • Proposiciones condicionales
     • Condicional o implicación (→) Si p y q representan dos proposiciones simples, entonces la proposición compuesta p q solo será falsa cuando p, llamado antecedente o hipótesis, sea verdadero y q, llamado consecuente o conclusión, sea falso. Algunas formas de la condicional o implicación son: si … entonces, se sigue, por tanto, se infiere, de ahí que, se deduce, implica, entre otras. La condicional no es conmutativa, es decir: p → q ≠ q → p
     • Bicondicional o Equivalencia (↔) Si p y q representan dos proposiciones simples, entonces la proposición compuesta p ↔ q, solo será verdadera cuando ambas proposiciones tengan el mismo valor de verdad. Algunas formas de la bicondicional son: si y solo si, entonces y solo entonces, es idéntico, equivale a, es equivalente a, entre otras mas. La bicondicional es conmutativa, es decir: p ↔ q = q ↔ p
   • TABLA DE LA VERDAD
     • Aunque ya se han utilizado las tablas de verdad para obtener los valores de verdad de proposiciones simples y compuestas, aun no las hemos definido formalmente. Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, así como de algunos casos de proposiciones simples, cuando estas utilizan los operadores lógicos de negación y doble negación, dependiendo de los operadores lógicos usados y de los valores de verdad de las proposiciones simples involucradas.

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