Números combinatórios e triângulo de Pascal

Números combinatórios e triângulo de Pascal

1. Triângulo de Pascal é um triângulo aritmético infinito onde são dispostos os coeficientes das expansões binominais. Os números que compõem o triângulo apresentam diversas propriedades e relações.

   • Propriedades 1.ª) Todas as linhas têm o número 1 como seu primeiro e último elemento. De fato, o primeiro elemento de todas as linhas é calculado por: abre parênteses tabela linha com n linha com 0 fim da tabela fecha parênteses igual a numerador n fatorial sobre denominador 0 fatorial parêntese esquerdo n menos 0 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador n fatorial sobre denominador 0 fatorial n fatorial fim da fração igual a 1 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo c o n s i d e r a n d o espaço 0 fatorial igual a 1 parêntese direito e o último elemento de todas as linhas é calculado por: abre parênteses tabela linha com n linha com n fim da tabela fecha parênteses igual a numerador n fatorial sobre denominador n fatorial fim da fração igual a 1

2. Essa representação geométrica foi estudada pelo matemático chinês Yang Hui (1238-1298) e por muitos outros matemáticos. Entretanto, os estudos mais famosos foram do matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1559) e do matemático francês Blaise Pascal (1623-1662).

   • O restante dos números de uma linha é formado pela adição dos dois números mais próximos da linha acima. Essa propriedade é chamada de Relação de Stifel e é expressa por: abre parênteses tabela linha com célula com n menos 1 fim da célula linha com célula com p menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses mais abre parênteses tabela linha com célula com n menos 1 fim da célula linha com p fim da tabela fecha parênteses igual a abre parênteses tabela linha com n linha com p fim da tabela fecha parênteses É possível verificar a relação de Stifel diretamente no triângulo de Pascal, porque a partir da segunda linha, cada elemento é igual à soma do elemento acima com o seu anterior.