TRANSFORMADA Z

TRANSFORMADA Z

1. Polos y ceros en el plano z.

   • Dado un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo, y causal, el método de la transformada-Z da lugar a una función X(z) que puede tener la siguiente forma:
     • Los puntos en los que la función X(z) es igual a cero son las raíces del numerador (los ceros de X(z)). Así mismo, los puntos en los que la función tiende a infinito son las raíces del denominador (denominado los polos de X(z)).
       • Al resolver se obtiene los CEROS En el plano z se los identifica con un círculo
       • Al resolver se obtiene los POLOS En el plano z se los identifica con una cruz

2. Región de convergencia (ROC)

   • La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-Z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita
   • Propiedades de la Región de Convergencia:
     • La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, x[n].
       •  La R.O.C consiste en un anillo centrado en el origen.  La ROC no debe contener algún polo de la transformada Z. Por definición un polo es donde x[z] es infinito (divergente). Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las “z” para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.  Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el planoz, excepto en |z| = 0 o |z| = ∞.  Si x[n] es causal, x[n] =0  n<0, la ROC es el exterior de una circunferencia cuyo radio se corresponde con el polo de la transformada Z mayor en valor absoluto.  Si es estrictamente anticausal, x[n] =0  n>0, es el interior (un circulo) de la circunferencia con radio igual al polo de menor valor absoluto de la transformada Z En otras situaciones se tiene una anillo.

3. Propiedades de la transformada-Z

   • Aditividad o Linealidad
     • Si f[n] y g[n] tienen transformada-Z, y a cada una de ellas se las multiplica por los escalares a y b respectivamente, con un periodo de muestreo igual a uno, entonces
   • Multiplicación por a^n
     • a operación como escalado en el dominio de “z”
   • Teorema del corrimiento (desplazamiento en el tiempo)
     • Corrimiento hacia atrás (atraso):
     • Corrimiento hacia adelante (adelanto):
   • Diferenciación en el dominio de Z
   • Teorema de traslación compleja
   • Teorema del valor inicial.
     • Este teorema permite conocer el valor inicial f[0] de una secuencia a partir de la transformada F(z) sin obtener la transformada Z inversa de F(z).
   • Teorema del valor final.

4. TRANSFORMADA Z INVERSA

   • • Donde C es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, C, debe contener todos los polos de X(z).
       • Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:
       • La transformada Z inversa formal está basada en la integral de Cauchy. Sin embargo existen métodos menos formales que resultan más simples y prácticos para obtener la transformada z inversa de tipos comunes de secuencias. Estos métodos son:
         • Método de inspección
         • Método de la división directa
         • Expansión en fracciones parciales
         • Expansión en series de potencias

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