CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

1. Sistemas de referencia

   • Es un conjunto de coordenadas espacio-tiempo que se requiere para poder determinar la posición de un punto en el espacio. Un punto de referencia puede estar situado en el ojo de un observador, el ojo puede estar parado o en movimiento. La trayectoria descrita por el móvil depende del sistema de referencia que arbitrariamente elijamos

2. Sistemas de coordenadas

   • Con el objeto de representar los vectores discutidos en la sección precedente, en particular el vector posición de la partícula, es conveniente utilizar algunos sistemas de coordenadas. Los mas usuales son los sistemas de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, sistemas que discutiremos en detalle a continuación.
     • Coordenadas cartesianas
       • Este es el sistema más simple de coordenadas. Para representar al vector r utilizamos su proyección a lo largo de tres ejes ortogonales, fijos, los que denotaremos como OX, OY y OZ, respectivamente, tal como se indica en la figura 4. Llamaremos ı al vector unitario a lo largo de OX, j, al vector unitario a lo largo de OY y k al vector unitario a lo largo de OZ. A la proyección de r a lo largo de OX (i.e., a r · ı) la denotaremos por x. A las proyecciones de r a lo largo de OY y OZ las llamaremos y y z respectivamente. De este modo, podemos representar al vector r (en la base de vectores ortonormales i, j, k) por ~r = xi + y j+ z k.
     • Coordenadas polares
       • En diversas circunstancias, el sistema de coordenadas cartesianos no resulta el mas apropiado. Por ejemplo, al discutir el movimiento de un péndulo simple, o al describir la ´orbita de un satélite bajo la acción del campo gravitatorio terrestre, las ecuaciones de movimiento en cartesianas son mas bien complicadas. En esos casos resulta mucho más adecuado usar coordenadas polares, las que introducimos a continuación. Consideremos una partícula en movimiento en un plano. Por supuesto podemos representar el movimiento de la partícula en coordenadas cartesianas (x, y) como se indica en la figura 4. Sin embargo, también podemos usar otros parámetros para representar la posición P de la partícula.
     • Coordenadas cilíndricas
       • Consideremos una partícula P que se mueve en el espacio. En lugar de representar la posición de P en coordenadas cartesianas como lo hicimos mas arriba, podemos proyectar su movimiento a lo largo de un eje (llamemos OZ a este eje) y sobre el plano perpendicular a OZ, digamos el plano XY , y utilizar coordenadas polares sobre este plano. El punto P se mueve en el espacio, Q representa su proyección en el plano XY , z mide la altura de P sobre el plano (i.e., la coordenada a lo largo del eje OZ). Para describir la posición de Q sobre el plano XY utilizamos coordenadas polares. Elegimos como eje polar a un eje fijos sobre el plano, que llamaremos OX. A la distancia del origen de coordenadas O al punto Q la llamaremos ρ, en tanto que al ángulo entre OQ y OX lo llamaremos θ. La posición de P queda completamente determinada al especificar los valores de ρ, θ y z. A este conjunto de parámetros los llamaremos coordenadas cilíndricas. La coordenada z varía entre −∞ y +∞,
     • Coordenadas esféricas
       • Consideremos una partícula P que se mueve en el espacio. En lugar de representar la posición de P en coordenadas cartesianas, podemos usar coordenadas esféricas. El punto P se mueve en el espacio, Q representa su proyección en el plano XY , R representa su proyección en el plano XZ. Llamaremos r a la distancia OP, i.e., al largo del vector r. Así mismo llamaremos θ al ángulo entre OP (vector posición) y el eje z. Finalmente llamaremos ϕ al ángulo entre OQ y el eje x. A este conjunto de parámetros (r, θ, ϕ) lo llamaremos coordenadas esféricas. Aquí, la coordenada r es no negativa (i.e., r ≥ 0), en tanto que 0 ≤ θ ≤ π, y 0 ≤ ϕ ≤ 2 π.

3. Vectores

   • vector posición
     • En física, la posición , vector de posición ó vector posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia se define como el vector que une el lugar ocupado por el cuerpo con el origen del sistema de referencia , su expresión en coordenadas cartesianas es: r=Xi+Yj+Zk, donde r es el vector de posición. X,Y,Z son las coordenadas del vector de posición. i,j,k son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes 0X,0Y,0Z, respectivamente.
   • Vector desplazamiento
     • Vector que representa el desplazamiento de un cuerpo entre dos posiciones Pi (posición inicial) y Pf (posición final) en un sistema de coordenadas. Se caracteriza porque: Su punto de aplicación se establece en el punto Pi. Su extremo se encuentra en las coordenadas del punto Pf. De lo anterior, se puede extraer que el modulo de este nuevo vector coincide con la distancia que existe entre esas dos posiciones. Analíticamente se representa como Δr⃗ y se calcula como la diferencia de los vectores de posición del cuerpo en los puntos Pi y Pf. Δr→=r→f−r→i=(xf−xi)i→+(yf−yi)j→+(zf−zi)k→
   • Velocidad media
     • Se define la velocidad media de un cuerpo que se mueve entre dos puntos P1 y P2 como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo en que transcurre el desplazamiento.
   • Velocidad instantanea
     • Se define la velocidad instantánea o simplemente velocidad como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define como la derivada del vector de posición respecto al tiempo.
   • Aceleración instantanea
     • Se define la aceleración instantánea, o simplemente aceleración, como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define de manera equivalente como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.
   • Aceleración media
     • Se define la aceleración media entre dos puntos P1 y P2 como la división de la variación de la velocidad y el tiempo transcurrido entre ambos puntos

4. Deducción de las ecuaciones de movimiento

   • Tiro parabolico
     • El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, consiste en lanzar un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la horizontal. El cuerpo en movimiento parabólico puede ser cualquier cosa: una pelota de futbol, de tenis, un dardo, un misil... a todos ellos los denominaremos de manera genérica proyectiles.
   • Caida libre
     • En la caída libre un objeto cae verticalmente desde cierta altura H despreciando cualquier tipo de rozamiento con el aire o cualquier otro obstáculo. Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad. En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad se puede considerar constante, dirigida hacia abajo, se designa por la letra g y su valor es de 9'8m/s2 (a veces se aproxima por 10 m/s2).
   • Movimiento circular
     • El movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante. Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria). Esto quiere decir que no tiene aceleración tangencial ni aceleración angular, aunque sí aceleración normal.
   • Aceleración radial y tangencial
     • Componente intrínseca de la aceleración. Se trata de un vector que representa la variación de la dirección del vector velocidad de un movil a lo largo del tiempo. Su dirección es perpendicular a la trayectoria que sigue el movil y su sentido apunta hacia el centro de curvatura. Se representa como a⃗n y su módulo se calcula de la siguiente forma

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