Polígonos Inscritos e Circunscritos

Polígonos Inscritos e Circunscritos

1. Na geometria, é possível relacionar diversas formas geométricas umas às outras, incluindo polígonos e circunferências. Desta forma, um polígono pode ser tanto circunscrito à uma circunferência quanto inscritível à ela. Sucintamente, polígonos circunscritos são aqueles em que todos os lados dele pertencem à circunferência, enquanto polígonos inscritos possuem lados tangentes à circunferência em um único ponto. Os casos mais comuns se tratam de: triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos.

   • Triângulo Equilátero
     • Os lados do triângulo equilátero sempre serão iguais, com todos os seus ângulos internos medindo 60°. No caso de um triângulo circunscrito, ele estará completamente contido no círculo, com seus vértices tocando a circunferência. Caso seja um triângulo inscrito, a circunferência estará completamente contida dentro do triângulo, tangenciando os três lados em um único ponto. Além disso, no triângulo equilátero, o baricentro, o circuncentro e o incentro coincidem.
     • Raio do círculo circunscrito ⭢ R = 𝓵/√3 Raio do círculo inscrito ⭢ r = 𝓵/2√3 = R/2 Altura do triângulo ⭢ h = √3/2 • 𝓵 Área do triângulo ⭢ A = √3/4 • 𝓵²
   • Quadrado
     • O quadrado tem todos os seus lados com o mesmo comprimento, e todos os seus ângulos internos são retos (90°). Assim como no triângulo e hexágono, ele é inscrito quando seus vértices tocam a circunferência, e circunscrito quando seus lados tangenciam a circunferência. Ademais, o centro do círculo é o mesmo que o centro do quadrado.
       • Relação entre o lado 𝓵 inscrito e o raio R ⭢ 𝓵 = R√2 Área do quadrado inscrito ⭢ A = 𝓵² = 2R² Relação entre o lado 𝓵 circunscrito e o raio R ⭢ a = 2R Área do quadrado circunscrito ⭢ A = 𝓵² = 4R²
   • Hexágono
     • Num hexágono regular, todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos são iguais (120°). Sendo ele inscrito, ele dividirá a circunferência em seis partes iguais. Em ambos os casos, o centro do círculo será também o centro do hexágono, além de que o polígono pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros com lados iguais aos do hexágono. O lado do hexágono é igual ao lado do círculo, quando inscrito.
     • Área do hexágono inscrito ⭢ A = 3√3/2 • 𝓵² Relação entre 𝓵 circunscrito e R ⭢ 𝓵 = 2R/√3 Área do hexágono circunscrito ⭢A = 4√3/3 • R²

2. Qualquer polígono regular é inscritível em uma circunferência.

3. Qualquer polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

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