Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector.

Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector.

1. Definición geométrica de un vector: El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento de reta dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se llama una representación del vector. Segmento dirigido PQ: Es el segmento de recta con origen en P y extremo en Q. Notar que PQ≠QP.

   • • Dos segmentos dirigidos son equivalentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido. → → PQ ≡ P’Q’
       • Definición Algebraica de un vector: Es un conjunto de elementos ordenados en renglón o columna.
         • • Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Los números a y b se conocen como las componentes del vector v. El vector cero es (0,0).
             • Observación 1: Con esta definición, un punto en el plano xy puede considerarse como un vector que se inicia en el origen y termina en ese punto. Observación 2: El vector cero tiene magnitud cero. Por tanto, como el punto inicial y el terminal coinciden decimos que el vector cero no tiene dirección. Observación 3: Enfatizamos que las definiciones 1 y 2 describen exactamente los mismos objetos, Cada punto de vista (geométrico y algebraico) tiene sus ventajas. La definición 2 es la definición de un vector con dos componentes que hemos venido usando hasta ahora.
         • • Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Los números a y b se conocen como las componentes del vector v. El vector cero es (0,0).

2. Vectores en R2 y R3

   • Vectores en R2
     • Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q, denotado por , es el segmento de recta que va de P a Q .
       • • Los segmentos de rectas dirigidos son distintos, puesto que tienen direcciones opuestas. Observación El punto P en el segmento dirigido es el punto inicial y Q es el final.
           • son tres segmentos dirigidos con igual longitud e igual dirección, se dice que son equivalentes sin importar donde se localizan con respecto al origen son equivalentes.
   • Vectores en R3
     • • los elementos de este conjunto se llaman vectores y los denotamos por = ( a , b , c ). Los elementos ( a , b , c ) ∈ R 3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional, definido con tres rectas mutuamente perpendiculares.
         • Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares.
           • • Los vectores de R3 también se pueden representar mediante segmentos de rectas dirigidos o flechas. La norma de un vector

3. Noción de distancia

   • Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre ellos. Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que nos establece que:

4. Definición algebraica de vector.

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