Estadística No Paramétrica

Estadística No Paramétrica

1. Prueba de rango con signo de Wilcoxon

   • Se aplica en el caso de una distribución continua simétrica.
     • Primero restamos .......de cada valor muestral y descartamos todas las diferencias iguales a cero.
       • Las diferencias restantes se ordenan sin importar el signo.
         • Se asigna una categoría de 1 a la diferencia absoluta más pequeña.
           • Una categoría de 2 a la siguiente más pequeña, y así sucesivamente.
             • Cuando el valor absoluto de dos o más diferencias es el mismo, se asigna a cada uno el promedio de los rangos que se asignarían si las diferencias fueran distinguibles.
   • Si la hipótesis..........................es verdadera, el total de los rangos que corresponden a las diferencias positivas debería ser casi igual al total de los rangos que corresponden a las diferencias negativas.
     • Designamos el más pequeño de w+ y w- con w.
       • Se considera a w+ , w- y w como valores de las correspondientes variables aleatorias W+ , W- y W
         • La hipótesis alternativa...................sólo si w+ es pequeña y w- es grande.
           • La hipótesis alternativa...............se puede aceptar sólo si w+ es grande y w- es pequeña.
             • Para una alternativa bilateral se puede rechazar Ho si w+ o w- y, en consecuencia, w son suficientemente pequeñas.
               • Esto es, cuando el valor del estadístico adecuado W+ , W- o W es suficientemente pequeño, se rechaza la hipótesis nula.
   • Dos muestras con observaciones en pares
     • Se ordenan las diferencias de las observaciones en pares sin importar el signo y se procede como en el caso de una sola muestra
     • • Todas las veces que n < 5 y que el nivel de significancia no exceda a 0.05 para una prueba de una cola, o a 0.10 para una prueba de dos colas:
         • Todos los valores posibles de w+ , w– o w conducirán a la aceptación de la hipótesis nula
         • Cuando 5 ≤ n ≤ 30, la tabla adjunta muestra valores críticos aproximados de W+ y W– a niveles de significancia iguales a 0.01, 0.025 y 0.05 para una prueba de una cola y valores críticos de W a niveles de significancia iguales a 0.02, 0.05 y 0.10 para una prueba de dos colas.
   • Ejemplo I
     • Se afirma que, si se le proporcionan ejemplos de problemas con antelación, un estudiante universitario de último año puede aumentar en al menos 50 puntos su calificación en el área de especialidad del examen para ingresar a posgrado. Para probar esta afirmación se divide a un grupo de 20 estudiantes del último año en 10 pares, de manera que cada par tenga casi la misma calificación promedio durante sus 3 primeros años en la universidad. Los ejemplos de problemas y las respuestas se proporcionan al azar a un miembro de cada par una semana antes del examen.
       • A un nivel de significancia de 0.05 pruebe la afirmación de que los ejemplos de problemas aumentan las calificaciones en al menos 50 puntos.
         • • • Región crítica: Como n = 10, la tabla indica que la región crítica es w+ ≤ 11
           • • Decisión: Como w+ es menor que 11, Rechazar Ho, hay evidencia suficiente que indica que los ejemplos de problemas, en promedio, no aumentan las calificaciones del examen para ingresar a posgrado hasta en 50 puntos. Con un NS de 5%
   • Aproximación normal para muestras grandes
     • Cuando n ≥ 15 la distribución muestral de W + (o W – ) se aproxima a la distribución normal, con media y varianza dadas por
       • Cuando n excede al valor más grande en la tabla se utiliza el estadístico

2. Prueba de la suma de rangos de Wilcoxon

   • • • Primero seleccionamos una muestra aleatoria de cada una de las poblaciones.
         • Se ordenan las n1 + n2 observaciones de las muestras combinadas en orden ascendente.
           • Se sustituye un rango de 1, 2,..., n1 + n2 para cada observación.
             • La suma de los rangos que corresponden a las n1 observaciones en la muestra más pequeña se denota con w1 .
               • El valor w2 representa la suma de los n2 rangos que corresponden a la muestra más grande
                 • Cuando las muestras son de igual tamaño n1 y n2 se pueden asignar de manera aleatoria.
           • • • La hipótesis nula..............se rechazará a favor de la hipótesis alternativa.............sólo si w1 es pequeña y w2 es grande.
                 • La hipótesis alternativa.............se puede aceptar sólo si w1 es grande y w2 es pequeña.
                   • Para una prueba de dos colas podemos rechazar Ho a favor de H1 si w1 es pequeña y w2 es grande, o si w1 es grande y w2 es pequeña.
               • Ejemplo
                 • Se encontró que el contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos. A un nivel de significancia de 0.05 pruebe la hipótesis de que las medianas del contenido de nicotina de las dos marcas son iguales, en comparación con la hipótesis alternativa de que son diferentes.
                   • • • u1= 57
                       • u2= 23
                       • No Rechazar Ho: Hay evidencia suficiente que indica que las medianas del contenido de nicotina de las dos marcas son iguales. Con un nivel de significancia del 5%.

3. Prueba de Kruskal-Wallis

   • También llamada prueba H de Kruskal-Wallis, es una generalización de la prueba de la suma de rangos para el caso de k > 2 muestras.
     • Se utiliza para probar la hipótesis nula Ho de que k muestras independientes provienen de poblaciones idénticas.
       • Sea ni (i = 1, 2,..., k) el número de observaciones en la i-ésima muestra. Primero combinamos todas las k muestras y acomodamos las n = n1 + n2 + ··· + nk observaciones en orden ascendente, y sustituimos el rango apropiado de 1, 2,..., n para cada observación.
         • En el caso de empates (observaciones idénticas), seguimos el procedimiento acostumbrado de reemplazar las observaciones por la media de los rangos que tendrían las observaciones si fueran distinguibles.
           • La suma de los rangos que corresponde a las ni observaciones en la i-ésima muestra se denota mediante la variable aleatoria Ri .
             • • Donde ri es el valor supuesto de Ri para i = 1, 2,..., k. Si h cae en la región crítica H > χα 2 con v = k – 1 grados de libertad, se rechaza Ho al nivel de significancia α; de otra manera no se rechaza Ho.
                 • Ejemplo
                   • En un experimento para determinar cuál de tres diferentes sistemas de misiles es preferible, se mide la tasa de combustión del propulsor. Utilice la prueba de Kruskal-Wallis y un nivel de signifi cancia de α = 0.05 para probar la hipótesis de que las tasas de combustión del propulsor son iguales para los tres sistemas de misiles
                     • • • • No Rechazar Ho: Hay evidencia suficiete que indica que las tasas del propulsor son iguales para los tres sistemas de misiles. Con un nivel de significancia del 5%.

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