Lógica matemática

Lógica matemática

1. La lógica y su historia

   • Se remonta al siglo IV a.C
     • La lógica aristotélica
       • La puso a la cabeza de su sistema filosófico como materia indispensable para cualquier otra ciencia.
         • Aristóteles
       • Era bastante rígida y estrecha de miras.
       • casi inalterada, hasta el siglo XVI.
   • En el siglo XVI.
     • A partir de aquí
       • La física aristotélica fue cambiada por la nueva física de Galileo y Newton.
       • La lógica simplemente fue ignorada.
         • Se mantuvo,
           • Pero en manos de filósofos y en parte de los matemáticos con inclinaciones filosóficas.
           • Sin jugar ningún papel relevante en el desarrollo de las ciencias.
         • Aun así
           • Gottfried Leibniz
             • Le dio cierto impulso, pero sin abandonar una postura conservadora.
   • Siglo XIX
     • A principios del siglo XIX
       • Los trabajos de Boole y algunos otros empezaron a relacionarla más directamente con la matemática
         • Pero sin obtener nada que la hiciera especialmente relevante
     • A Mediados del siglo XIX,
       • La lógica era poco más que una curiosidad que interesaba a quienes sentían alguna inquietud por la filosofía de la matemática o del pensamiento en general.
       • La lógica como hoy la entendemos surgió básicamente con los trabajos de Frege y Peano.
         • En principio
           • Eran al igual que los anteriores
             • Nuevos ensayos sobre el razonamiento, si bien más complejos y ambiciosos.
         • Lo que les dio importancia fue que no aparecieron como productos de mentes inquietas.
           • Sino como culminación del proceso de formalización que la matemática venía experimentando desde los tiempos de Newton y Leibniz.
         • El cálculo infinitesimal que éstos trazaron con tanta imaginación y que después desarrollaron Cauchy, Gauss y otros.
           • Tuvo que ser precisado a medida que se manejaban conceptos más generales y abstractos.
       • Dedekind, Riemann, Weierstrass, fueron sistematizando la matemática hasta el punto de dejarla construida esencialmente a partir de los números naturales y de las propiedades elementales sobre los conjuntos.
       • La obra de Frege y de Peano pretendía ser el último eslabón de esta cadena.
         • Trataron de dar reglas precisas que determinaran completamente la labor del matemático, explicitando los puntos de partida que había que suponer así como los métodos usados para deducir nuevos resultados a partir de ellos.
     • A finales del siglo XIX,
       • Georg Cantor
         • Creó y desarrolló la parte más general y más abstracta de la matemática moderna:
           • La teoría de conjuntos.
             • No pasó mucho tiempo sin que el propio Cantor, junto con otros muchos, descubriera descaradas contradicciones en la teoría
               • Es decir
                 • se obtenían demostraciones de ciertos hechos y de sus contrarios
                   • El ejemplo más simple de estos resultados fue descubierto por Bertrand Russell al despojar de contenido matemático a otro debido a Cantor:
                     • En la teoría cantoriana se puede hablar de cualquier conjunto de objetos con tal de que se especifiquen sus elementos sin ambigüedad alguna.
                     • En particular podemos considerar el conjunto R cuyos elementos son exactamente aquellos conjuntos que no son elementos de sí mismos.
                       • Es fácil ver que si R es un elemento de sí mismo, entonces por definición no debería serlo, y viceversa.
                         • En definitiva resulta que R no puede ni pertenecerse como elemento ni no hacerlo.
                           • Esto contradice a la lógica más elemental.
       • La primera muestra de la importancia de la lógica fue un estrepitoso fracaso.
         • Frege había creado un sistema que pretendía regular todo el razonamiento matemático
           • De manera que cualquier resultado que un matemático pudiera demostrar, debería poder demostrarse siguiendo las reglas que con tanto detalle había descrito.
       • Russell observó que la paradoja antes citada podía probarse en el sistema de Frege y que, a consecuencia de esto, cualquier afirmación, fuera la que fuera, podía ser demostrada según estas reglas, que se volvían, por tanto, completamente inútiles.
         • Este desastre, no obstante, mostraba que la laboriosa tarea de Frege no era en modo alguno trivial, y urgía encontrar una sustituta a su fallida teoría.
           • Con el tiempo surgieron varias opciones.
             • La primera fueron los Principia Mathematica de Whitehead y Russell, de una terrible complejidad lógica, a la que siguieron muchas teorías bastante más simples aunque quizá menos naturales.
             • Destacan entre ellas las teorías de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG).
               • Ambas constan de unos principios básicos (axiomas) y unas reglas precisas de demostración que permiten deducir de ellos todos los teoremas matemáticos y hasta donde hoy se sabe ninguna contradicción.
                 • De esta forma la lógica ha probado ser indispensable a la hora de trabajar en teoría de conjuntos, hasta el punto de que es inconcebible el estudio de ésta sin un buen conocimiento de aquélla.

2. El matemático demuestra, el lógico estudia lo que hace el matemático cuando demuestra.

   • Tradicionalmente se ha dicho que la lógica se ocupa del estudio del razonamiento.
   • El matemático se las arregla para reconocer la validez de un argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero, al menos en principio, de total fiabilidad.
     • No necesita para su tarea contar con un concepto preciso de demostración
   • Un matemático competente distingue sin dificultad una demostración correcta de una incorrecta, o mejor dicho, una demostración de otra cosa que aparenta serlo pero que no lo es.
   • ¿Qué hace ahí el lógico?
     • La mejor forma de justificar el estudio de la lógica sea dar visión aunque sea breve.

3. El contenido de la lógica matemática

   • Las funciones principales de la lógica matemática:
     • Servir de fundamento al razonamiento matemático, evitando ambigüedades y contradicciones mediante la determinación absolutamente precisa y rigurosa de lo que es un razonamiento matemático válido.
       • Pero cuando la necesidad obliga al estudio de un determinado campo, el esfuerzo pronto es premiado con nuevos resultados inesperados.
         • Igualmente, el tener una noción precisa de demostración nos permite comprender y resolver problemas que de otro modo serían inabordables
           • Cuando un matemático hace una conjetura, puede meditar sobre ella y, si tiene suerte, la demostrará o la refutará.
             • Pero también puede ser que no tenga suerte y no consiga ni lo uno ni lo otro.
               • puede significar dos cosas: que no es lo suficientemente buen matemático o que pretendía un imposible.