Equação Polinomial

Equação Polinomial

1. Definição

   • Toda equação que pode ser reduzida à forma: P(x)=0, em que P(x) é um polinômio de grau n>0. Caso o polinômio tenha grau n, a equação terá grau n

2. Teorema fundamental da álgebra

   • Toda equação algébrica de grau n, n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

3. Teorema da Decomposição

   • Toda equação algébrica pode ser decomposta em uma multiplicação entre o coeficiente dominante de um polinômio e as multiplicações das diferenças entre a variável e cada raiz complexa do polinômio em destaque.

4. Número de raízes de uma equação polinomial

   • Toda equação algébrica de grau n, n ≥ 1, tem, no máximo, n raízes reais e exatamente n raízes complexas.

5. Relações de Girard

   • Albert Girard estabeleceu relações entre raízes e coeficientes de equações polinomiais. Relações as quais facilitam a resolução de equações de n grau, sendo n ≥ 2, permitindo o encontro das raízes ou coeficientes desses polinômios com uma maior facilidade.
     • Equação do Terceiro Grau: r1+r2+r3 = −b/a. r1⋅r2+r1⋅r3+r2⋅r3 = c/a. r1⋅r2⋅r3 = −d/a.
       • Equação do Quarto Grau: r1+r2+r3+r4= −b/a. r1⋅r2+r1⋅r3+r1⋅r4+r2⋅r3+r2⋅r4+r3⋅r4 = c/a r1⋅r2⋅r3+r1⋅r2⋅r4+r1⋅r3⋅r4+r2⋅r3⋅r4= −d/a. r1⋅r2⋅r3⋅r4= e/a.
         • Equação de Grau n: X1+X2+X3...Xn = -An-1/An. X1.X2+X1.X3+...+Xn-1+Xn = An-2/An. X1.X2.X3+X1.X2.X4+...+Xn-2.Xn-1.Xn = -An-3/An. .............................. X1.X2.X3...Xn = -1 elevado a n A0/An.
   • Equação do Segundo Grau: r1+r2= −b/a. r1⋅r2= c/a.

6. Teorema das Raízes Imaginárias

   • Se um número complexo Z=a+b.i, com a e b pertencentes aos números Reais e b diferente de 0 é raiz em uma equação polinomial de grau maior que zero, então seu conjugado também é raiz dessa equação.
     • Se um número complexo z é uma raiz de multiplicidade m de uma equação polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado também é uma raiz de multiplicidade m dessa equação.
     • Raízes complexas não reais de uma equação algébrica de coeficientes reais ocorrem aos pares. Assim, toda equação algébrica de grau ímpar e coeficientes reais, admite, necessariamente, pelo menos uma raiz real.

7. Atividade avaliativa 3. 3° período. Mapa mental. Matemática 2A. Equação Polinomial. 912 Sul. Turma: 3° A. Caio Andrade da Silva Cunha n° 3.