NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS COMPLEXOS

1. Quando vamos solucionar equações do tipo x2+1=0, nos deparamos com x=±−1−−−√. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação i2=−1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria x=±i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.

2. ADIÇÃO: z1+z2=(a+bi)+(c+di) -> z1+z2=(a+c)+(b+d)i EXEMPLO= Se z1=3+2i e z2=5−3i a soma será: z1+z2=(3+5)+(2−3)i -> z1+z2=8−i

3. SUBTRAÇÃO: z1−z2=(a+bi)−(c+di) -> z1−z2=(a−c)+(b−d)i EXEMPLO= Se z1=7+10i e z2=3+6i a diferença será: z1−z2=(7−3)+(10−6)i -> z1−z2=4−4i

4. MULTIPLICAÇÃO: z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di) -> z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i EXEMPLO= Se z1=2+5i e z2=1+3i o produto será: z1⋅z2=(2+5i)+(1+3i) -> z1⋅z2=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i -> z1⋅z2=2+6i+5i+15i^2 -> z1⋅z2=2+6i+5i+15⋅(−1) -> z1⋅z2=2+6i+5i−15 -> z1⋅z2=(2−15)+(6+5)i -> z1⋅z2=−13+11i

5. DIVISÃO:

6. Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo z=a+bi no Plano de Argand-Gauss

7. POTÊNCIA: |z|⋅|z|⋅|z|⋅|z|⋅…⋅|z|=(|z|)n E θ+θ+θ+…+θ=n⋅θ Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que: zn=(|z|)n⋅(cos(nθ)+i⋅sen(nθ)) = Exemplo: Calcular z3, sendo z=2(cos(π4)+i⋅sen(π4)). -> z3=23(cos(3⋅π4)+i⋅sen(3⋅π4)) -> z3=8(cos(3π4)+i⋅sen(3π4))

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