Números Complexos

Números Complexos

1. Definição

   • É todo par ordenado (a, b) que é escrito na forma a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. i=√(-1) ou 1^2=-1

2. Histórico

   • Bombelli tentou encontrar regras para trabalhar com raízes quadradas de números negativos, considerou raiz de -1 como um número qualquer e conseguiu mostras a raiz da equação que ele estava tentando resolver. Bombelli passou a desenvolver regras para operar com esses novos "números". A partir daí, os matemáticos passaram a estudar e a trabalhar com raízes quadradas de números negativos de forma cada vez mais sistematizada.
     • 1629: Albert Girard escreve as raízes quadradas de números negativos na forma a + b√(-1).
     • 1637: dada a notação a + b√(-1), René Descartes chama a de "parte real" e b de "parte imaginária".
       • A partir dos trabalhos do matemático Carl Friedrich Gauss, que se passou a chamar os números da forma a + bi de complexos e esses números ganharam o status de campo numérico.
     • 1748: Leonhard Euler usa a letra para representar √(-1). Assim, uma expressão do tipo 4 + 3√(-1) passou a ser escrita como 4 +3i.

3. Operações

   • Adição
     • Sendo z = a + bi e w = c + di, com a, b, c e d reais, chama-se soma de z com w o número complexo: (a + c) + (b + d)i.
   • Subtração
     • Sendo z = a + bi e w = c + di, com a, b, c e d reais, chama-se diferença de z com w o número complexo: (a - c) + (b - d)i.
   • Multiplicação
     • Sendo z = a + bi e w = c + di, com a, b, c e d reais, chama-se soma de z por w o número complexo: (ac - bd) + (ad + bc)i.
   • Conjugado
     • Chama-se conjugado do número complexo z= a + bi, com a e b reais, o número complexo a-bi. Indicamos o conjugado de z por ̅z.
   • Divisão
     • Sendo z = a + bi e w = c + di, com a, b, c e d reais, obtemos o quociente entre z e w multiplicando o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor. Escrevemos: z : w = (z ∙ ̅w)/(w ∙ ̅w).

4. Potências de i

   • Os valores de i^n constituem um fato periódico de período 4. Então, para calcular i^n, indicando por q e r, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de n por 4: i^n= i^4q+r = i^4q∙i^r=(i^4 )^q∙i^r=1^q∙i^r=i^r, se n = 4q + rn então i^n = i^r.

5. Módulo

   • Módulo de um número complexo z = a + bi, a e b pertence aos reais, que denotamos por lzl, é o número real não negativo √(a^2+b^2 ).