Tecnicas de conteo

Tecnicas de conteo

1. ¿QUE ES?

   • Las técnicas de conteo son unos métodos matemáticos que permiten saber cuántas combinaciones u opciones distintas se tienen de los elementos de dentro de un mismo grupo de objetos.
     • SE DIVIDEN EN:
       • PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
         • Este tipo de técnica de conteo, junto con el principio aditivo, permiten comprender fácilmente y de forma práctica cómo funcionan estos métodos matemáticos. Si un evento, llamemoslo N1, puede ocurrir de varias formas, y otro evento, N2, puede ocurrir de otras tantas, entonces, los eventos conjuntamente pueden ocurrir de 1 x 2 formas. Este principio se utiliza cuando la acción es secuencial, es decir, está conformada por eventos que ocurren de forma ordenada
           • EJEMPLOS:
             • En un restaurante, el menú consiste en un plato principal , un segundo y postre. De platos principales tenemos 4, de segundos hay 5 y de postres hay 3. Entonces, N1 = 4; N2 = 5 y N3 = 3. Así pues, las combinaciones que ofrece este menú serían 4 x 5 x 3 = 60
             • Julian tiene distintas formas de jugar 5 deportes cada uno con 2 maneras de juego dando a conocer que el tien diez formas de elegir ya que 5 x 2=10
             • Edward tiene 6 chaquetas, 7 pantalones y 3 snowboards para ir a practicar en las montañas, como resultado el tiene 126 formas de vestirse para ir a la competencia
       • PERMUTACION
         • Antes de entender cómo hacer las permutaciones, es importante entender la diferencia entre una combinación y una permutación. Una combinación es un arreglo de elementos cuyo orden no es importante o no cambia el resultado final. En cambio, en una permutación, habría un arreglo de varios elementos en los que sí es importante tenerse en cuenta su orden o posición. En las permutaciones, hay n cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería r. La fórmula que se utilizaría sería la siguiente: nPr = n!/(n-r)!
           • SE DIVIDE EN OPERACIONES CON:
             • IMPORTANCIA DEL ORDEN
               • Las permutaciones son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos.
                 • ¿Cuántos números de e 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 1,2,3,4,5 ? Solución: m=5 y e n=5 Sí entran todos los elementos, ya que tenemos la misma cantidad de elementos que de posiciones Sí importa el orden No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentese:P_{5}= 5!= 5\ 4\ 3\ 2\ 1= 120
                 • ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de ocho butacas? Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas Sí importa el orden No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir P_{8}= 8!= 40320
             • SIN IMPORTANCIA DEL ORDEN
               • Las combinaciones son agrupaciones en las que el contenido importa pero el orden no.
                 • P4 = 4*3*2*1 = 24 números distintos de 4 dígitos. Siendo estos los 24 arreglos en total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.
                 • Se tienen 15 bolas numeradas y se desea conocer ¿Cuántos grupos distintos de 3 bolas se pueden construir con las 15 bolas numeradas? Se quiere hallar el número de grupos de 3 bolas que se pueden confeccionar con las 15 bolas numeradas. N° de grupos de 3 bolas = 15P3 = 15!/(15 – 3)! N° de grupos de 3 bolas = 15*14*13 = 2730 grupos de 3 bolas
       • COMBINACION
         • Se trata de variaciones con repetición de un conjunto de cinco bolas tomadas de tres en tres. Cuando se trata de contar el número de subconjuntos de elementos en un conjunto de elementos tenemos lo que se denomina combinaciones de elementos en un conjunto de n.
           • EJEMPLOS:
             • Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría? La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
             • ¿cuántos grupos de dos letras diferentes se pueden formar sin tener en cuenta el orden? Si buscamos los diferente grupos, obtenemos: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D} → obtenemos 6 combinaciones diferentes.
             • en una heladería tienen se venden helados de dos sabores diferentes, ¿cuántos helados de sabores diferentes podemos elegir entre los sabores de nata, vainilla, chocolate, limón y naranja? m = 5 sabores diferentes n = 2 (helados de dos sabores Cmn = C52 = 5! / [2! (5-2)!] = 5! / (2! · 3!) = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) / (2 · 3 · 2) = 10 combinaciones.